Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} + 13 x^{2} - 48$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{4} + 13 x^{2} - 48$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$ .

$x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$

Этап 1.2.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} + 13 u - 48 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 1.2.3

Разложим $u^{2} + 13 u - 48$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 48$ , а сумма — $13$ .

$- 3, 16$

Этап 1.2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u + 16) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 16 = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 1.2.6

Приравняем $u + 16$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $u + 16$ к $0$ .

$u + 16 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$u = - 16$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 3) (u + 16) = 0$ верно.

$u = 3, - 16$

Этап 1.2.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Этап 1.2.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 3$

Этап 1.2.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 1.2.10.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 1.2.10.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 1.2.10.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 1.2.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Этап 1.2.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 16$

Этап 1.2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Этап 1.2.12.3

Упростим $\pm \sqrt{- 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.3.1

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Этап 1.2.12.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Этап 1.2.12.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Этап 1.2.12.3.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Этап 1.2.12.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 4$

Этап 1.2.12.3.6

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \pm 4 i$

Этап 1.2.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4 i$

Этап 1.2.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4 i$

Этап 1.2.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4 i, - 4 i$

Этап 1.2.13

Решением $x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$ является $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 4 i, - 4 i$ .

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 4 i, - 4 i$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} + 13 \cdot 0^{2} - 48$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Этап 2.2.4

Упростим ${(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 13 {(0)}^{2} - 48$

Этап 2.2.4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 13 \cdot 0 - 48$

Этап 2.2.4.1.3

Умножим $13$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 48$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 48$

Этап 2.2.4.2.2

Вычтем $48$ из $0$ .

$y = - 48$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 48)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 48)$

Этап 4