Основы мат. анализа Примеры

$y = \log_{3} (3 x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \log_{3} (3 y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\log_{3} (3 y) = x$ .

$\log_{3} (3 y) = x$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{3} (3 y) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 3 y$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $3 y = 3^{x}$ .

$3 y = 3^{x}$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $3 y = 3^{x}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $3 y = 3^{x}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3^{x}}{3}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Сократим общий множитель $3^{x}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{x}$ .

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3}$

Этап 2.3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 (1)}$

Этап 2.3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3^{x - 1}}{1}$

Этап 2.3.2.3.1.2.4

Разделим $3^{x - 1}$ на $1$ .

$y = 3^{x - 1}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ обратной к $f (x) = \log_{3} (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\log_{3} (3 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{(\log_{3} (3 x)) - 1}$

Этап 4.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{\log_{3} (3 x) - 1}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (3^{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3 (3^{x - 1}))$

Этап 4.3.3

Перепишем $\log_{3} (3 (3^{x - 1}))$ в виде $\log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$

Этап 4.3.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x - 1$ из степени.

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \log_{3} (3)$

Этап 4.3.5

Логарифм $3$ по основанию $3$ равен $1$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \cdot 1$

Этап 4.3.6

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + x - 1$

Этап 4.3.7

Логарифм $3$ по основанию $3$ равен $1$ .

$f (3^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Этап 4.3.8

Объединим противоположные члены в $1 + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (3^{x - 1}) = x + 0$

Этап 4.3.8.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (3^{x - 1}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \log_{3} (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$