Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{8 x^{2} + 26 x + 15}{2 x^{2} - x - 15}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{8 x^{2} + 26 x + 15}{2 x^{2} - x - 15}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x^{2} - x - 15 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 15 = 0$

Этап 2.1.1.2

Запишем $- 1$ как $5$ плюс $- 6$

$2 x^{2} + (5 - 6) x - 15 = 0$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 5 x - 6 x - 15 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + 5 x) - 6 x - 15 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 5) - 3 (2 x + 5) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) (x - 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 5) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{2}, 3$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - \frac{5}{2}, 3}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{14}{11}) \cup (\frac{14}{11}, 4) \cup (4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \neq \frac{14}{11}, 4}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq - \frac{5}{2}, 3}$

Диапазон: $(- \infty, \frac{14}{11}) \cup (\frac{14}{11}, 4) \cup (4, \infty), {y | y \neq \frac{14}{11}, 4}$

Этап 6