Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 9}{2 x^{2} + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x^{2} + 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} = - 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{2}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Этап 2.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Этап 2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Этап 2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 2.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 9, \frac{1}{2})$

Обозначение построения множества:

${y | - 9 \leq y < \frac{1}{2}}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Диапазон: $[- 9, \frac{1}{2}), {y | - 9 \leq y < \frac{1}{2}}$

Этап 6