Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2}{x} + 5$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{2}{x} + 5$ в виде уравнения.

$y = \frac{2}{x} + 5$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2}{y} + 5$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{y} + 5 = x$ .

$\frac{2}{y} + 5 = x$

Этап 3.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2}{y} = x - 5$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 3.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{2}{y} = x - 5$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{2}{y} = x - 5$ на $y$ .

$\frac{2}{y} y = x y - 5 y$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{y} y = x y - 5 y$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = x y - 5 y$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x y - 5 y = 2$ .

$x y - 5 y = 2$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $x y - 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x - 5 y = 2$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 5 y$ .

$y x + y \cdot - 5 = 2$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot - 5$ .

$y (x - 5) = 2$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $y (x - 5) = 2$ на $x - 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $y (x - 5) = 2$ на $x - 5$ .

$\frac{y (x - 5)}{x - 5} = \frac{2}{x - 5}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 5)}{x - 5} = \frac{2}{x - 5}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2}{x - 5}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{x - 5}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2}{x - 5}$ обратной к $f (x) = \frac{2}{x} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2}{x} + 5)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x} + 5) = \frac{2}{(\frac{2}{x} + 5) - 5}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x} + 5) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 0}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $\frac{2}{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x} + 5) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Этап 5.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{2}{x} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2}{x} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2}{x} + 5) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{2}{x - 5})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2}{x - 5}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 5}} + 5$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2}{x - 5}) = 2 (\frac{x - 5}{2}) + 5$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{x - 5}) = 2 (\frac{x - 5}{2}) + 5$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{x - 5}) = x - 5 + 5$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f (\frac{2}{x - 5}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{2}{x - 5}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2}{x - 5}$ — обратная к $f (x) = \frac{2}{x} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{x - 5}$