Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2 y}{3 y - 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $3 y - 1$ .

$(3 y - 1) (x) = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $(3 y - 1) (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y x - 1 x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$3 y x - x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $3 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$3 y x - x = \frac{2 y}{3 y - 1} (3 y - 1)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$3 y x - x = 2 y$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$3 y x - x - 2 y = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$3 y x - 2 y = x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $3 y x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y x$ .

$y (3 x) - 2 y = x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 2 = x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (3 x) + y \cdot - 2$ .

$y (3 x - 2) = x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (3 x - 2) = x$ на $3 x - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (3 x - 2) = x$ на $3 x - 2$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{3 x - 2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ обратной к $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 1}}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Этап 5.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $3 \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Объединим $3$ и $\frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (2 x)}{3 x - 1} - 2}$

Этап 5.2.4.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2}$

Этап 5.2.4.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2 \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.4.3

Объединим $- 2$ и $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{- 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.4.5

Перепишем $\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x - 2 (3 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.4.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (3 x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.4.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x) + 1)}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.4.5.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.4.5.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.4.5.5

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 1)}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.4.5.6

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.4.6

Умножим $2$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3 x - 1}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (1 (\frac{3 x - 1}{2}))$

Этап 5.2.6

Умножим $\frac{3 x - 1}{2}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 (x)}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Этап 5.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Этап 5.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{3 x - 2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{x}{3 x - 2})}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Этап 5.3.3

Объединим $2$ и $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим $3$ и $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1}$

Этап 5.3.4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x) + 2}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.4

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 2}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.5

Добавим $0$ и $2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{2}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ — обратная к $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$