Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{5} x - 2$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{5} x - 2$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{5} x - 2$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{5} y - 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{5} y - 2 = x$ .

$\frac{1}{5} y - 2 = x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $y$ .

$\frac{y}{5} - 2 = x$

Этап 3.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{5} = x + 2$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 \frac{y}{5} = 5 (x + 2)$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{y}{5} = 5 (x + 2)$

Этап 3.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 5 (x + 2)$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $5 (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 5 x + 5 \cdot 2$

Этап 3.5.2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$y = 5 x + 10$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 5 x + 10$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 5 x + 10$ обратной к $f (x) = \frac{1}{5} x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{5} x - 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x - 2) = 5 (\frac{1}{5} x - 2) + 10$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x - 2) = 5 (\frac{x}{5} - 2) + 10$

Этап 5.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x - 2) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 \cdot - 2 + 10$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x - 2) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 \cdot - 2 + 10$

Этап 5.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x - 2) = x + 5 \cdot - 2 + 10$

Этап 5.2.3.4

Умножим $5$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x - 2) = x - 10 + 10$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 10 + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 10$ и $10$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x - 2) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x - 2) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (5 x + 10)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (5 x + 10) = \frac{1}{5} \cdot (5 x + 10) - 2$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (5 x + 10) = \frac{1}{5} \cdot (5 x) + \frac{1}{5} \cdot 10 - 2$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f (5 x + 10) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x)) + \frac{1}{5} \cdot 10 - 2$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (5 x + 10) = \frac{1}{5} \cdot (5 x) + \frac{1}{5} \cdot 10 - 2$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (5 x + 10) = x + \frac{1}{5} \cdot 10 - 2$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$f (5 x + 10) = x + \frac{1}{5} \cdot (5 (2)) - 2$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (5 x + 10) = x + \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 2) - 2$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (5 x + 10) = x + 2 - 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (5 x + 10) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (5 x + 10) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 5 x + 10$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{5} x - 2$ .

$f^{- 1} (x) = 5 x + 10$