Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$ в виде уравнения.

$y = \frac{7}{4 x + 12}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{7}{4 y + 12}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{7}{4 y + 12} = x$ .

$\frac{7}{4 y + 12} = x$

Этап 3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 y + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$\frac{7}{4 (y) + 12} = x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{7}{4 y + 4 \cdot 3} = x$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 y + 4 \cdot 3$ .

$\frac{7}{4 (y + 3)} = x$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 (y + 3), 1$

Этап 3.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$4 (y + 3)$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{7}{4 (y + 3)} = x$ умножим на $4 (y + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{7}{4 (y + 3)} = x$ на $4 (y + 3)$ .

$\frac{7}{4 (y + 3)} (4 (y + 3)) = x (4 (y + 3))$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{7}{4 (y + 3)} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{7}{4 (y + 3)} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Этап 3.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{y + 3} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{y + 3} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Этап 3.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$7 = x (4 (y + 3))$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 = 4 x (y + 3)$

Этап 3.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 = 4 x y + 4 x \cdot 3$

Этап 3.4.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$7 = 4 x y + 12 x$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $4 x y + 12 x = 7$ .

$4 x y + 12 x = 7$

Этап 3.5.2

Вычтем $12 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x y = 7 - 12 x$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $4 x y = 7 - 12 x$ на $4 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $4 x y = 7 - 12 x$ на $4 x$ .

$\frac{4 x y}{4 x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x y}{4 x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y}{x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Этап 3.5.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Этап 3.5.3.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x$ .

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{4 (- 3 x)}{4 x}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{4 (- 3 x)}{4 (x)}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{4 (- 3 x)}{4 x}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{- 3 x}{x}$

Этап 3.5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{- 3 x}{x}$

Этап 3.5.3.3.1.2.2

Разделим $- 3$ на $1$ .

$y = \frac{7}{4 x} - 3$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$ обратной к $f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x + 12})} - 3$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 (x) + 12})} - 3$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x + 4 \cdot 3})} - 3$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4 \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 (x + 3)})} - 3$

Этап 5.2.3.2

Объединим $4$ и $\frac{7}{4 (x + 3)}$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x + 3)}} - 3$

Этап 5.2.3.3

Умножим $4$ на $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{28}{4 (x + 3)}} - 3$

Этап 5.2.3.4

Сократим выражение $\frac{28}{4 (x + 3)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x + 3)}} - 3$

Этап 5.2.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x + 3)}} - 3$

Этап 5.2.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{7}{x + 3}} - 3$

Этап 5.2.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = 7 (\frac{x + 3}{7}) - 3$

Этап 5.2.3.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = 7 (\frac{x + 3}{7}) - 3$

Этап 5.2.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = x + 3 - 3$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{7}{4 x} - 3)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 12}$

Этап 5.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 4 \cdot 3}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 4 \cdot 3$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} - 3 + 3)}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} + 0)}$

Этап 5.3.3.3

Добавим $\frac{7}{4 x}$ и $0$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x})}$

Этап 5.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим $4$ и $\frac{7}{4 x}$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 x}}$

Этап 5.3.4.2

Умножим $4$ на $7$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{28}{4 x}}$

Этап 5.3.4.3

Сократим выражение $\frac{28}{4 x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 x}}$

Этап 5.3.4.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x)}}$

Этап 5.3.4.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 x}}$

Этап 5.3.4.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{7}{x}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = 7 (\frac{x}{7})$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = 7 (\frac{x}{7})$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$ — обратная к $f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$