Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ в виде уравнения.

$y = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{6 y + 4}{4 y + 5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{6 y + 4}{4 y + 5} = x$ .

$\frac{6 y + 4}{4 y + 5} = x$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $6 y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 y$ .

$\frac{2 (3 y) + 4}{4 y + 5} = x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (3 y) + 2 (2)}{4 y + 5} = x$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 y) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 y + 5, 1$

Этап 3.3.2

Избавимся от скобок.

$4 y + 5, 1$

Этап 3.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$4 y + 5$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$ умножим на $4 y + 5$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$ на $4 y + 5$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} (4 y + 5) = x (4 y + 5)$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $4 y + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} (4 y + 5) = x (4 y + 5)$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 (3 y + 2) = x (4 y + 5)$

Этап 3.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 y) + 2 \cdot 2 = x (4 y + 5)$

Этап 3.4.2.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$6 y + 2 \cdot 2 = x (4 y + 5)$

Этап 3.4.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$6 y + 4 = x (4 y + 5)$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y + 4 = x (4 y) + x \cdot 5$

Этап 3.4.3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 y + 4 = 4 x y + x \cdot 5$

Этап 3.4.3.2.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$6 y + 4 = 4 x y + 5 x$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $4 x y$ из обеих частей уравнения.

$6 y + 4 - 4 x y = 5 x$

Этап 3.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$6 y - 4 x y = 5 x - 4$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $2 y$ из $6 y - 4 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем множитель $2 y$ из $6 y$ .

$2 y (3) - 4 x y = 5 x - 4$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель $2 y$ из $- 4 x y$ .

$2 y (3) + 2 y (- 2 x) = 5 x - 4$

Этап 3.5.3.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (3) + 2 y (- 2 x)$ .

$2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$ на $2 (3 - 2 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$ на $2 (3 - 2 x)$ .

$\frac{2 y (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (3 - 2 x)}{3 - 2 x} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Этап 3.5.4.2.2

Сократим общий множитель $3 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (3 - 2 x)}{3 - 2 x} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Этап 3.5.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 - 2 x)}$

Этап 3.5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 - 2 x)}$

Этап 3.5.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 2}{3 - 2 x}$

Этап 3.5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2}{3 - 2 x}$

Этап 3.5.4.3.2

Чтобы записать $- \frac{2}{3 - 2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2}{3 - 2 x} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.5.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 (3 - 2 x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.3.1

Умножим $\frac{2}{3 - 2 x}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2 \cdot 2}{(3 - 2 x) \cdot 2}$

Этап 3.5.4.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(3 - 2 x) \cdot 2$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (3 - 2 x)}$

Этап 3.5.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 x - 2 \cdot 2}{2 (3 - 2 x)}$

Этап 3.5.4.3.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ обратной к $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x) + 4}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x) + 2 (2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x) + 4}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x) + 2 (2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $5 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Объединим $5$ и $\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{5 (2 (3 x + 2))}{4 x + 5} - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.1.2

Умножим $2$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.2

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} - 4 \cdot \frac{4 x + 5}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.3

Объединим $- 4$ и $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} + \frac{- 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5

Перепишем $\frac{10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 (3 x + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2)) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 (4 x + 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2)) + 2 (- 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (5 (3 x + 2)) + 2 (- 2 (4 x + 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2) - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x) + 5 \cdot 2 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.3

Умножим $3$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 5 \cdot 2 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.4

Умножим $5$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 2 (4 x) - 2 \cdot 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.6

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 8 x - 2 \cdot 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.7

Умножим $- 2$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 8 x - 10)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.8

Вычтем $8 x$ из $15 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (7 x + 10 - 10)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.9

Вычтем $10$ из $10$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (7 x + 0)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.10

Добавим $7 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 \cdot (7 x)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.4.5.11

Умножим $2$ на $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $- 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 + \frac{- 2 (2 (3 x + 2))}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.1.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 + \frac{- 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 - \frac{(4) (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x + 5)}{4 x + 5} - \frac{4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.5

Перепишем $\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x) + 3 \cdot 5 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.5.2

Умножим $4$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 3 \cdot 5 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.5.3

Умножим $3$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 4 (3 x) - 4 \cdot 2}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.5.5

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 12 x - 4 \cdot 2}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.5.6

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 12 x - 8}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.5.7

Вычтем $12 x$ из $12 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{0 + 15 - 8}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.5.8

Добавим $0$ и $15$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{15 - 8}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.5.5.9

Вычтем $8$ из $15$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{7}{4 x + 5})}$

Этап 5.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Объединим $2$ и $\frac{7}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{\frac{2 \cdot 7}{4 x + 5}}$

Этап 5.2.6.2

Умножим $2$ на $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{\frac{14}{4 x + 5}}$

Этап 5.2.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 x}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вынесем множитель $14$ из $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 (x)}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Этап 5.2.8.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 x}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Этап 5.2.8.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{x}{4 x + 5} \cdot (4 x + 5)$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $4 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{x}{4 x + 5} \cdot (4 x + 5)$

Этап 5.2.9.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{6 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 4}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 4}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 2 (2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 2 (2)$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.2

Объединим $3$ и $\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + 2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + 2 \cdot \frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.4

Объединим $2$ и $\frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4) + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6

Перепишем $\frac{3 (5 x - 4) + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x) + 3 \cdot - 4 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6.2

Умножим $5$ на $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x + 3 \cdot - 4 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (2 \cdot 3 + 2 (- 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6.5

Умножим $2$ на $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (6 + 2 (- 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6.6

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (6 - 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 \cdot 6 + 2 (- 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6.8

Умножим $2$ на $6$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 12 + 2 (- 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6.9

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 12 - 8 x}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6.10

Вычтем $8 x$ из $15 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x - 12 + 12}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6.11

Добавим $- 12$ и $12$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x + 0}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.3.6.12

Добавим $7 x$ и $0$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 (2) (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Этап 5.3.4.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 \cdot (2 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 5}$

Этап 5.3.4.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 (\frac{5 x - 4}{3 - 2 x}) + 5}$

Этап 5.3.4.2

Объединим $2$ и $\frac{5 x - 4}{3 - 2 x}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4)}{3 - 2 x} + 5}$

Этап 5.3.4.3

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4)}{3 - 2 x} + \frac{5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4) + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{2 (5 x - 4) + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x) + 2 \cdot - 4 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.5.2

Умножим $5$ на $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x + 2 \cdot - 4 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.5.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 5 \cdot 3 + 5 (- 2 x)}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.5.5

Умножим $5$ на $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 15 + 5 (- 2 x)}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.5.6

Умножим $- 2$ на $5$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 15 - 10 x}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.5.7

Вычтем $10 x$ из $10 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{0 - 8 + 15}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.5.8

Вычтем $8$ из $0$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{- 8 + 15}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.5.9

Добавим $- 8$ и $15$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.5

Объединим $2$ и $\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.6

Умножим $2$ на $7$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{14 x}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.7

Сократим выражение $\frac{14 x}{2 (3 - 2 x)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $14 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{7 x}{3 - 2 x}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Этап 5.3.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 (x)}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Этап 5.3.9.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Этап 5.3.9.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{x}{3 - 2 x} \cdot (3 - 2 x)$

Этап 5.3.10

Сократим общий множитель $3 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{x}{3 - 2 x} \cdot (3 - 2 x)$

Этап 5.3.10.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ — обратная к $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$