Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$ в виде уравнения.

$y = \frac{4 x}{9 x - 5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{4 y}{9 y - 5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $9 y - 5$ .

$(9 y - 5) (x) = (\frac{4 y}{9 y - 5}) (9 y - 5)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 y x - 5 x = (\frac{4 y}{9 y - 5}) (9 y - 5)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $9 y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$9 y x - 5 x = \frac{4 y}{9 y - 5} (9 y - 5)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$9 y x - 5 x = 4 y$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$9 y x - 5 x - 4 y = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $5 x$ к обеим частям уравнения.

$9 y x - 4 y = 5 x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $9 y x - 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $9 y x$ .

$y (9 x) - 4 y = 5 x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 4 y$ .

$y (9 x) + y \cdot - 4 = 5 x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (9 x) + y \cdot - 4$ .

$y (9 x - 4) = 5 x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (9 x - 4) = 5 x$ на $9 x - 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (9 x - 4) = 5 x$ на $9 x - 4$ .

$\frac{y (9 x - 4)}{9 x - 4} = \frac{5 x}{9 x - 4}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $9 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (9 x - 4)}{9 x - 4} = \frac{5 x}{9 x - 4}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 x}{9 x - 4}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$ обратной к $f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{5 (\frac{4 x}{9 x - 5})}{9 (\frac{4 x}{9 x - 5}) - 4}$

Этап 5.2.3

Объединим $5$ и $\frac{4 x}{9 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{9 (\frac{4 x}{9 x - 5}) - 4}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $9 \frac{4 x}{9 x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Объединим $9$ и $\frac{4 x}{9 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{9 (4 x)}{9 x - 5} - 4}$

Этап 5.2.4.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x}{9 x - 5} - 4}$

Этап 5.2.4.2

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9 x - 5}{9 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x}{9 x - 5} - 4 \cdot \frac{9 x - 5}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.4.3

Объединим $- 4$ и $\frac{9 x - 5}{9 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x}{9 x - 5} + \frac{- 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x - 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.4.5

Перепишем $\frac{36 x - 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1

Вынесем множитель $4$ из $36 x - 4 (9 x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $36 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x) - 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.4.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 (9 x - 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x) + 4 (- (9 x - 5))}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.4.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 x) + 4 (- (9 x - 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - (9 x - 5))}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - (9 x) + 5)}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.4.5.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - 9 x + 5)}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.4.5.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - 9 x + 5)}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.4.5.5

Вычтем $9 x$ из $9 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (0 + 5)}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.4.5.6

Добавим $0$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 \cdot 5}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.4.6

Умножим $4$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{20}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.5

Умножим $5$ на $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{20 x}{9 x - 5}}{\frac{20}{9 x - 5}}$

Этап 5.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{20 x}{9 x - 5} \cdot \frac{9 x - 5}{20}$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $20$ из $20 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{20 (x)}{9 x - 5} \cdot \frac{9 x - 5}{20}$

Этап 5.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{20 x}{9 x - 5} \cdot \frac{9 x - 5}{20}$

Этап 5.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{x}{9 x - 5} \cdot (9 x - 5)$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $9 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{x}{9 x - 5} \cdot (9 x - 5)$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 x}{9 x - 4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{4 (\frac{5 x}{9 x - 4})}{9 (\frac{5 x}{9 x - 4}) - 5}$

Этап 5.3.3

Объединим $4$ и $\frac{5 x}{9 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{9 (\frac{5 x}{9 x - 4}) - 5}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Умножим $9 \frac{5 x}{9 x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Объединим $9$ и $\frac{5 x}{9 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{9 (5 x)}{9 x - 4} - 5}$

Этап 5.3.4.1.2

Умножим $5$ на $9$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x}{9 x - 4} - 5}$

Этап 5.3.4.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9 x - 4}{9 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x}{9 x - 4} - 5 \cdot \frac{9 x - 4}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $- 5$ и $\frac{9 x - 4}{9 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x}{9 x - 4} + \frac{- 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x - 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{45 x - 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Вынесем множитель $5$ из $45 x - 5 (9 x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $45 x$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x) - 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.4.5.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 (9 x - 4)$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x) + 5 (- (9 x - 4))}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.4.5.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (9 x) + 5 (- (9 x - 4))$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - (9 x - 4))}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - (9 x) + 4)}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.4.5.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - 9 x + 4)}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.4.5.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - 9 x + 4)}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.4.5.5

Вычтем $9 x$ из $9 x$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (0 + 4)}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.4.5.6

Добавим $0$ и $4$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 \cdot 4}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.4.6

Умножим $5$ на $4$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{20}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.5

Умножим $4$ на $5$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{20 x}{9 x - 4}}{\frac{20}{9 x - 4}}$

Этап 5.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{20 x}{9 x - 4} \cdot \frac{9 x - 4}{20}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $20$ из $20 x$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{20 (x)}{9 x - 4} \cdot \frac{9 x - 4}{20}$

Этап 5.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{20 x}{9 x - 4} \cdot \frac{9 x - 4}{20}$

Этап 5.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{x}{9 x - 4} \cdot (9 x - 4)$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $9 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{x}{9 x - 4} \cdot (9 x - 4)$

Этап 5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$ — обратная к $f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$