Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ в виде уравнения.

$y = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3 y \sqrt{y}}{8}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 y \sqrt{y}}{8} = x$ .

$\frac{3 y \sqrt{y}}{8} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8} = \frac{8}{3} x$

Этап 3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим $\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8} = \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 y \sqrt{y}) = \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{3} (3 (y \sqrt{y})) = \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 (y \sqrt{y})) = \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y \sqrt{y} = \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим $\frac{8}{3}$ и $x$ .

$y \sqrt{y} = \frac{8 x}{3}$

Этап 3.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(y \sqrt{y})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Этап 3.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y \cdot y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${(y \cdot y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

${(y^{1} y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Этап 3.5.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(y^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Этап 3.5.2.1.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Этап 3.5.2.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(y^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Этап 3.5.2.1.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

${(y^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Этап 3.5.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Этап 3.5.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим ${(\frac{8 x}{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{8 x}{3}$ .

$y^{3} = \frac{{(8 x)}^{2}}{3^{2}}$

Этап 3.5.3.1.1.2

Применим правило умножения к $8 x$ .

$y^{3} = \frac{8^{2} x^{2}}{3^{2}}$

Этап 3.5.3.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$y^{3} = \frac{64 x^{2}}{3^{2}}$

Этап 3.5.3.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y^{3} = \frac{64 x^{2}}{9}$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$

Этап 3.6.2

Упростим $\sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{64 x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{64 x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

Этап 3.6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4^{3} x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

Этап 3.6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

Этап 3.6.2.3

Умножим $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Этап 3.6.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.4.1

Умножим $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Этап 3.6.2.4.2

Возведем $\sqrt[3]{9}$ в степень $1$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Этап 3.6.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

Этап 3.6.2.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

Этап 3.6.2.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ в виде $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{9}$ в виде $9^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.6.2.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.6.2.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.6.2.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.6.2.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

Этап 3.6.2.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

Этап 3.6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{9^{2}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

Этап 3.6.2.5.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{81}}{9}$

Этап 3.6.2.5.3

Перепишем $81$ в виде $3^{3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.5.3.1

Вынесем множитель $27$ из $81$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

Этап 3.6.2.5.3.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

Этап 3.6.2.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 3 \sqrt[3]{3}}{9}$

Этап 3.6.2.5.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.5.5.1

Умножим $3$ на $4$ .

$y = \frac{12 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{3}}{9}$

Этап 3.6.2.5.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{12 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{9}$

Этап 3.6.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $12 \sqrt[3]{3 x^{2}}$ .

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{9}$

Этап 3.6.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3 (3)}$

Этап 3.6.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3 \cdot 3}$

Этап 3.6.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ обратной к $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 {(\frac{3 x \sqrt{x}}{8})}^{2}}}{3}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{{(3 x \sqrt{x})}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Применим правило умножения к $3 x \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{{(3 x)}^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2.2

Применим правило умножения к $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{3^{2} x^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2.4

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{2}{2}}}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{2}{2}}}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.5.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 (x \cdot x^{2})}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{1 + 2}}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.2.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{3}}{8^{2}})}}{3}$

Этап 5.2.3.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{3}}{64})}}{3}$

Этап 5.2.3.4

Объединим $3$ и $\frac{9 x^{3}}{64}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3})}{64}}}{3}$

Этап 5.2.3.5

Умножим $3$ на $9$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{27 x^{3}}{64}}}{3}$

Этап 5.2.3.6

Перепишем $27 x^{3}$ в виде ${(3 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{{(3 x)}^{3}}{64}}}{3}$

Этап 5.2.3.7

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{{(3 x)}^{3}}{4^{3}}}}{3}$

Этап 5.2.3.8

Перепишем $\frac{{(3 x)}^{3}}{4^{3}}$ в виде ${(\frac{3 x}{4})}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{{(\frac{3 x}{4})}^{3}}}{3}$

Этап 5.2.3.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 (\frac{3 x}{4})}{3}$

Этап 5.2.4

Объединим $4$ и $\frac{3 x}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4}}{3}$

Этап 5.2.5

Умножим $4$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{12 x}{4}}{3}$

Этап 5.2.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим выражение $\frac{12 x}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4}}{3}$

Этап 5.2.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4 (1)}}{3}$

Этап 5.2.6.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4 \cdot 1}}{3}$

Этап 5.2.6.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{3 x}{1}}{3}$

Этап 5.2.6.2

Разделим $3 x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.7.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{3 (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{8}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим $3$ и $\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3} \cdot \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{8}$

Этап 5.3.3.2

Объединим $\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}$ и $\sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}}) \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[3]{3 x^{2}} \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}$ в виде ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 ({(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.2.2

Перепишем ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}}$ в виде ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 ({(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.2.3

Перепишем ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.2.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3 x^{2}}$ в виде ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} {(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.2.5

Перепишем ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ в виде ${(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} {(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}})}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.2.6

Перепишем ${(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{{(3 x^{2})}^{2}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} \sqrt[6]{{(3 x^{2})}^{2}})}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3} {(3 x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.4

Применим правило умножения к $\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}} \cdot {(3 x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.5

Применим правило умножения к $3 x^{2}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}} \cdot (3^{2} {(x^{2})}^{2})}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.6.1

Объединим $\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}}$ и $3^{2}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2}}{3^{3}} \cdot {(x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.6.2

Объединим $\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2}}{3^{3}}$ и ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot (3^{2} {(x^{2})}^{2})}{3^{3}}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.7

Сократим общий множитель $3^{2}$ и $3^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.7.1

Вынесем множитель $3^{2}$ из ${(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2} {(x^{2})}^{2}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{3}}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.7.2.1

Вынесем множитель $3^{2}$ из $3^{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{2} \cdot 3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{2} \cdot 3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.8.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt[3]{3 x^{2}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{4^{3} {\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.3

Перепишем ${\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3}$ в виде $3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.8.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3 x^{2}}$ в виде ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {({(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{3}{3}} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.8.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{3}{3}} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.3.5

Упростим.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.8.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) x^{2 \cdot 2}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) x^{4}}{3}}}{3}}{8}$

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 \cdot (3 x^{2} x^{4})}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.8.5.1

Умножим $64$ на $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{2} x^{4}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.8.5.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 (x^{4} x^{2})}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{4 + 2}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.8.5.2.3

Добавим $4$ и $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{6}}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.9

Сократим общий множитель $192$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $192 x^{6}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3 (1)}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3 \cdot 1}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 x^{6}}{1}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.4.9.2.4

Разделим $64 x^{6}$ на $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{64 x^{6}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перепишем $64 x^{6}$ в виде ${(2 x)}^{6}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{{(2 x)}^{6}}}{3}}{8}$

Этап 5.3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \cdot (2 x)}{3}}{8}$

Этап 5.3.5.3

Умножим $12$ на $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{24 x}{3}}{8}$

Этап 5.3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим выражение $\frac{24 x}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $24 x$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3}}{8}$

Этап 5.3.6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 (1)}}{8}$

Этап 5.3.6.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 \cdot 1}}{8}$

Этап 5.3.6.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{8 x}{1}}{8}$

Этап 5.3.6.2

Разделим $8 x$ на $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{8 x}{8}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{8 x}{8}$

Этап 5.3.7.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ — обратная к $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$