Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3^{x - 1} - 2$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3^{x - 1} - 2$ в виде уравнения.

$y = 3^{x - 1} - 2$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3^{y - 1} - 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3^{y - 1} - 2 = x$ .

$3^{y - 1} - 2 = x$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3^{y - 1} = x + 2$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{y - 1}) = \ln (x + 2)$

Этап 3.4

Развернем $\ln (3^{y - 1})$ , вынося $y - 1$ из логарифма.

$(y - 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

Этап 3.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим $(y - 1) \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y \ln (3) - 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

Этап 3.5.1.2

Перепишем $- 1 \ln (3)$ в виде $- \ln (3)$ .

$y \ln (3) - \ln (3) = \ln (x + 2)$

Этап 3.6

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$y \ln (3) - \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

Этап 3.7

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $\ln (3)$ к обеим частям уравнения.

$y \ln (3) - \ln (x + 2) = \ln (3)$

Этап 3.7.2

Добавим $\ln (x + 2)$ к обеим частям уравнения.

$y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x + 2)$

Этап 3.8

Разделим каждый член $y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x + 2)$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Разделим каждый член $y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x + 2)$ на $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Этап 3.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Этап 3.8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Этап 3.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Этап 3.8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$ обратной к $f (x) = 3^{x - 1} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3^{x - 1} - 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{\ln ((3^{x - 1} - 2) + 2)}{\ln (3)}$

Этап 5.2.3

Объединим противоположные члены в $1 + \frac{\ln ((3^{x - 1} - 2) + 2)}{\ln (3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{\ln (3^{x - 1} + 0)}{\ln (3)}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $3^{x - 1}$ и $0$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{\ln (3^{x - 1})}{\ln (3)}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Развернем $\ln (3^{x - 1})$ , вынося $x - 1$ из логарифма.

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 5.2.4.2

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 5.2.4.2.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + x - 1$

Этап 5.2.5

Объединим противоположные члены в $1 + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = x + 0$

Этап 5.2.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{(1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) - 1} - 2$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $3^{(1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) - 1} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{0 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}} - 2$

Этап 5.3.3.2

Добавим $0$ и $\frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}} - 2$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x + 2)} - 2$

Этап 5.3.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = x + 2 - 2$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$ — обратная к $f (x) = 3^{x - 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$