Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x + 7}{x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x + 7}{x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x + 7}{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y + 7}{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y + 7}{y} = x$ .

$\frac{y + 7}{y} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{y + 7}{y} = x$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{y + 7}{y} = x$ на $y$ .

$\frac{y + 7}{y} y = x y$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 7}{y} y = x y$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y + 7 = x y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$y + 7 - x y = 0$

Этап 3.4.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$y - x y = - 7$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = - 7$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = - 7$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = - 7$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (1 - x) = - 7$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (1 - x) = - 7$ на $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{- 7}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{- 7}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 7}{1 - x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{7}{1 - x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$ обратной к $f (x) = \frac{x + 7}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x + 7}{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{1 - (\frac{x + 7}{x})}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x}{x} - \frac{x + 7}{x}}$

Этап 5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x - (x + 7)}{x}}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем $\frac{x - (x + 7)}{x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x - x - 1 \cdot 7}{x}}$

Этап 5.2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x - x - 7}{x}}$

Этап 5.2.3.3.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{0 - 7}{x}}$

Этап 5.2.3.3.4

Вычтем $7$ из $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{- 7}{x}}$

Этап 5.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{- \frac{7}{x}}$

Этап 5.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - (7 (- \frac{x}{7}))$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{7}$ в числитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - (7 (\frac{- x}{7}))$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - (7 (\frac{- x}{7}))$

Этап 5.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{7}{1 - x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{(- \frac{7}{1 - x}) + 7}{- \frac{7}{1 - x}}$

Этап 5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = (- \frac{7}{1 - x} + 7) (- \frac{1 - x}{7})$

Этап 5.3.4

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = (- \frac{7}{1 - x} + \frac{7 (1 - x)}{1 - x}) (- \frac{1 - x}{7})$

Этап 5.3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{- 7 + 7 (1 - x)}{1 - x} \cdot (- \frac{1 - x}{7})$

Этап 5.3.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - \frac{- 7 + 7 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{7}$

Этап 5.3.5.3

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{- 7 + 7 (1 - x)}{1 - x}$ в числитель.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{- (- 7 + 7 (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{7}$

Этап 5.3.5.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{- (- 7 + 7 (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{7}$

Этап 5.3.5.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 (1 - x)) \frac{1}{7}$

Этап 5.3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 \cdot 1 + 7 (- x)) \frac{1}{7}$

Этап 5.3.6.2

Умножим $7$ на $1$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 + 7 (- x)) \frac{1}{7}$

Этап 5.3.6.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 - 7 x) \frac{1}{7}$

Этап 5.3.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (0 - 7 x) \frac{1}{7}$

Этап 5.3.7.2

Вычтем $7 x$ из $0$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 7 x \frac{1}{7}$

Этап 5.3.7.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1

Вынесем множитель $7$ из $- (- 7 x)$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 7 (x) (\frac{1}{7})$

Этап 5.3.7.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 7 (x) (\frac{1}{7})$

Этап 5.3.7.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = x$

Этап 5.3.7.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 1 x$

Этап 5.3.7.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$ — обратная к $f (x) = \frac{x + 7}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$