Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{6}{\sqrt{8 - y}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$ .

$\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$

Этап 3.2

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$x \cdot (\sqrt{8 - y}) = 6$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $x$ на $\sqrt{8 - y}$ .

$x \sqrt{8 - y} = 6$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(x \sqrt{8 - y})}^{2} = 6^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 - y}$ в виде ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим правило умножения к $x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Этап 3.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Этап 3.4.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} {(8 - y)}^{1} = 6^{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Упростим.

$x^{2} (8 - y) = 6^{2}$

Этап 3.4.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cdot 8 + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Этап 3.4.2.1.5

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.1

Перенесем $8$ влево от $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Этап 3.4.2.1.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{2} - x^{2} y = 6^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$8 x^{2} - x^{2} y = 36$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $8 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ на $- x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ на $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} y}{- x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Этап 3.5.2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Этап 3.5.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.5.2.3.1.2.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 8}{- 1}$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - 1 \cdot - 8$

Этап 3.5.2.3.1.3

Перепишем $- 1 \cdot - 8$ в виде $- - 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - - 8$

Этап 3.5.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ обратной к $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{8 - x}})}^{2}} + 8$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Этап 5.2.3.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Этап 5.2.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ в виде $8 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 - x}$ в виде ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + 8$

Этап 5.2.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + 8$

Этап 5.2.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Этап 5.2.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Этап 5.2.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Этап 5.2.3.1.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Этап 5.2.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Этап 5.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (8 - x) + 8$

Этап 5.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Этап 5.2.3.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Этап 5.2.3.6

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + 1 x + 8$

Этап 5.2.3.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $- 8 + x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{36}{x^{2}} + 8)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + 8)}}$

Этап 5.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2}})}}$

Этап 5.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{- 36 + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $4$ из $- 36 + 8 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 36$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.3.2

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 4 (2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 9) + 4 (2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.4

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.6

Перепишем $\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} - (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.6.3

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.6.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.6.5

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (0 + 9)}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.6.6

Добавим $0$ и $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 \cdot 9}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.7

Умножим $4$ на $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.8

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3.9

Перепишем $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

Этап 5.3.3.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Этап 5.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ — обратная к $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$