Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ в виде уравнения.

$y = x^{\frac{1}{3}} + 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{\frac{1}{3}} + 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{\frac{1}{3}} + 1 = x$ .

$y^{\frac{1}{3}} + 1 = x$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{\frac{1}{3}} - x = - 1$

Этап 3.2.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$y^{\frac{1}{3}} = - 1 + x$

Этап 3.3

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Этап 3.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Этап 3.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Этап 3.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(- 1 + x)}^{3}$

Этап 3.4.1.1.2

Упростим.

$y = {(- 1 + x)}^{3}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(- 1 + x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Этап 3.4.2.1.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = - 1 + 3 \cdot 1 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Этап 3.4.2.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$y = - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Этап 3.4.2.1.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y = - 1 + 3 x - 3 x^{2} + x^{3}$

Этап 3.5

Упростим $- 1 + 3 x - 3 x^{2} + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем $- 1$ .

$y = 3 x - 3 x^{2} + x^{3} - 1$

Этап 3.5.2

Перенесем $3 x$ .

$y = - 3 x^{2} + x^{3} + 3 x - 1$

Этап 3.5.3

Изменим порядок $- 3 x^{2}$ и $x^{3}$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ обратной к $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.2.2

Упростим.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.2.5

Единица в любой степени равна единице.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.2.6

Умножим $3$ на $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.3

Перепишем ${(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.4

Развернем $(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} + 1) + 1 (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1.1

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.5.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.5.1.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.5.1.2

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.5.1.3

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.5.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.5.2

Добавим $x^{\frac{1}{3}}$ и $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.7.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Этап 5.2.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 5.2.3.9

Умножим $3$ на $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Вычтем $3 x^{\frac{2}{3}}$ из $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1$ и $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Этап 5.2.4.1.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 1$

Этап 5.2.4.1.4

Добавим $x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ и $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1$

Этап 5.2.4.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Этап 5.2.4.1.6

Добавим $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ и $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $6 x^{\frac{1}{3}}$ из $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Добавим $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ и $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 0$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = {(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 1$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ — обратная к $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$