Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y}{2 y + 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y}{2 y + 1} = x$ .

$\frac{y}{2 y + 1} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y + 1, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$2 y + 1, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 y + 1$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{y}{2 y + 1} = x$ умножим на $2 y + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{y}{2 y + 1} = x$ на $2 y + 1$ .

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y = x (2 y + 1)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x (2 y) + x \cdot 1$

Этап 3.3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = 2 x y + x \cdot 1$

Этап 3.3.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = 2 x y + x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$y - 2 x y = x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $y - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y = x$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y (1 - 2 x) = x$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (1 - 2 x) = x$ на $1 - 2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (1 - 2 x) = x$ на $1 - 2 x$ .

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{1 - 2 x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ обратной к $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{\frac{x}{2 x + 1}}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Этап 5.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 x}{2 x + 1}}$

Этап 5.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Этап 5.2.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Этап 5.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{2 x + 1}}$

Этап 5.2.4.5

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}}$

Этап 5.2.4.6

Перепишем $\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.6.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 x + 1}}$

Этап 5.2.4.6.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 x + 1}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot (1 (2 x + 1))$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $2 x + 1$ из $1 (2 x + 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Этап 5.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Этап 5.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{1 - 2 x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Этап 5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + 1}$

Этап 5.3.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.4

Изменим порядок членов.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{- 2 x + 1}}$

Этап 5.3.4.5.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{- 2 x + 1}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 (- 2 x + 1))$

Этап 5.3.6

Умножим $- 2 x + 1$ на $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (- 2 x + 1)$

Этап 5.3.7

Умножим $\frac{x}{1 - 2 x}$ на $- 2 x + 1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{1 - 2 x}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $- 2 x + 1$ и $1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Изменим порядок членов.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Этап 5.3.8.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Этап 5.3.8.3

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ — обратная к $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$