Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{3 x - 1} + 5$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{3 y - 1} + 5$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{3 y - 1} + 5 = x$ .

$\sqrt{3 y - 1} + 5 = x$

Этап 3.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3 y - 1} = x - 5$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 y - 1}}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 y - 1}$ в виде ${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 y - 1)}^{1} = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$3 y - 1 = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$3 y - 1 = (x - 5) (x - 5)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y - 1 = x (x - 5) - 5 (x - 5)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 y - 1 = x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Этап 3.4.3.1.3.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 10 x + 25$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 y = x^{2} - 10 x + 25 + 1$

Этап 3.5.1.2

Добавим $25$ и $1$ .

$3 y = x^{2} - 10 x + 26$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $3 y = x^{2} - 10 x + 26$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $3 y = x^{2} - 10 x + 26$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$ обратной к $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2}}{3} - \frac{10 (\sqrt{3 x - 1} + 5)}{3} + \frac{26}{3}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем ${(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2}$ в виде $(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.2

Развернем $(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 5 (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1.1

Умножим $\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{3 x - 1}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{3 x - 1}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{\sqrt{3 x - 1}}^{1 + 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{\sqrt{3 x - 1}}^{2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{3 x - 1}}^{2}$ в виде $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x - 1}$ в виде ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{({(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{(3 x - 1) + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.1.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.1.3

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + 5 \cdot \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.1.4

Умножим $5$ на $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} + 25 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $- 1$ и $25$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.3.3

Добавим $5 \sqrt{3 x - 1}$ и $5 \sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Этап 5.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \cdot 5 + 26}{3}$

Этап 5.2.4.5

Умножим $- 10$ на $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 50 + 26}{3}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в $3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 50 + 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Вычтем $10 \sqrt{3 x - 1}$ из $10 \sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 0 - 50 + 26}{3}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $3 x + 24$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 - 50 + 26}{3}$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $50$ из $24$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 26 + 26}{3}$

Этап 5.2.5.3

Объединим противоположные члены в $3 x - 26 + 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.1

Добавим $- 26$ и $26$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 0}{3}$

Этап 5.2.5.3.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.5.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) - 1} + 5$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Этап 5.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Этап 5.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10 x}{3}$ в числитель.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{- 10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Этап 5.3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{- 10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Этап 5.3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Этап 5.3.3.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Этап 5.3.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 26 - 1} + 5$

Этап 5.3.3.3

Вычтем $1$ из $26$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 5$

Этап 5.3.3.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 5$

Этап 5.3.3.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем многочлен.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 5$

Этап 5.3.3.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 5$

Этап 5.3.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x - 5 + 5$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$