Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{7 - 2 x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{7 - 2 x}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{7 - 2 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{7 - 2 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{7 - 2 y} = x$ .

$\sqrt{7 - 2 y} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{7 - 2 y}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 - 2 y}$ в виде ${(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(7 - 2 y)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$7 - 2 y = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y = x^{2} - 7$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- 2 y = x^{2} - 7$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- 2 y = x^{2} - 7$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{- 7}{- 2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{- 7}{- 2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{- 7}{- 2}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 7}{- 2}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}$ обратной к $f (x) = \sqrt{7 - 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = - \frac{{(\sqrt{7 - 2 x})}^{2}}{2} + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- {(\sqrt{7 - 2 x})}^{2} + 7}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем ${\sqrt{7 - 2 x}}^{2}$ в виде $7 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 - 2 x}$ в виде ${(7 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- {({(7 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 7}{2}$

Этап 5.2.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- {(7 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 7}{2}$

Этап 5.2.4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- {(7 - 2 x)}^{\frac{2}{2}} + 7}{2}$

Этап 5.2.4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- {(7 - 2 x)}^{\frac{2}{2}} + 7}{2}$

Этап 5.2.4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- (7 - 2 x) + 7}{2}$

Этап 5.2.4.1.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- (7 - 2 x) + 7}{2}$

Этап 5.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (- 2 x) + 7}{2}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- 7 - (- 2 x) + 7}{2}$

Этап 5.2.4.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- 7 + 2 x + 7}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в $- 7 + 2 x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 - 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2})}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 - 2 (- \frac{x^{2}}{2}) - 2 (\frac{7}{2})}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 - 2 \frac{- x^{2}}{2} - 2 (\frac{7}{2})}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + 2 (- 1) (\frac{- x^{2}}{2}) - 2 (\frac{7}{2})}$

Этап 5.3.4.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + 2 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{2}) - 2 (\frac{7}{2})}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 - 1 (- x^{2}) - 2 (\frac{7}{2})}$

Этап 5.3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + 1 x^{2} - 2 (\frac{7}{2})}$

Этап 5.3.5.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + x^{2} - 2 (\frac{7}{2})}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + x^{2} + 2 (- 1) (\frac{7}{2})}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + x^{2} + 2 \cdot (- 1 (\frac{7}{2}))}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + x^{2} - 1 \cdot 7}$

Этап 5.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + x^{2} - 7}$

Этап 5.3.7.2

Вычтем $7$ из $7$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Этап 5.3.7.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 5.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{7 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}$