Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{1 - y^{2}} = x$ .

$\sqrt{1 - y^{2}} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 - y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - y^{2}}$ в виде ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - y^{2})}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$1 - y^{2} = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} = x^{2} - 1$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- y^{2} = x^{2} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- y^{2} = x^{2} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 1$

Этап 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1}$

Этап 3.4.4

Упростим $\pm \sqrt{- x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1^{2}}$

Этап 3.4.4.1.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Этап 3.4.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ обратной к $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, 1]$

Этап 5.3

Найдем область определения $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 5.3.2.2

Приравняем $1 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Приравняем $1 + x$ к $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 5.3.2.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.3.2.3

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 5.3.2.3.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 5.3.2.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 5.3.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 5.3.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 5.3.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 5.3.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Этап 5.3.2.6.1.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.3.2.6.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.3.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Этап 5.3.2.6.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.3.2.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Этап 5.3.2.6.3.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.3.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 5.3.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 \leq x \leq 1$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 1, 1]$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Обратная не существует

Этап 6