Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 2 x + 12 x - 9$

Этап 1

Запишем $f (x) = - 2 x + 12 x - 9$ в виде уравнения.

$y = - 2 x + 12 x - 9$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - 2 y + 12 y - 9$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 y + 12 y - 9 = x$ .

$- 2 y + 12 y - 9 = x$

Этап 3.2

Добавим $- 2 y$ и $12 y$ .

$10 y - 9 = x$

Этап 3.3

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$10 y = x + 9$

Этап 3.4

Разделим каждый член $10 y = x + 9$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $10 y = x + 9$ на $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 y}{10} = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$ обратной к $f (x) = - 2 x + 12 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{- 2 x + 12 x - 9}{10} + \frac{9}{10}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{- 2 x + 12 x - 9 + 9}{10}$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $- 2 x + 12 x - 9 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{- 2 x + 12 x + 0}{10}$

Этап 5.2.4.2

Добавим $- 2 x + 12 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{- 2 x + 12 x}{10}$

Этап 5.2.5

Добавим $- 2 x$ и $12 x$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{10 x}{10}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{10 x}{10}$

Этап 5.2.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 2 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 2 \frac{x}{10} - 2 (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = 2 (- 1) (\frac{x}{10}) - 2 (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = 2 \cdot (- 1 \frac{x}{2 \cdot 5}) - 2 (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = 2 \cdot (- 1 \frac{x}{2 \cdot 5}) - 2 (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 1 \frac{x}{5} - 2 (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 1 \frac{x}{5} + 2 (- 1) (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 1 \frac{x}{5} + 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 5}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 1 \frac{x}{5} + 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 5}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 1 \frac{x}{5} - 1 (\frac{9}{5}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Перепишем $- 1 \frac{x}{5}$ в виде $- \frac{x}{5}$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - 1 (\frac{9}{5}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем $- 1 (\frac{9}{5})$ в виде $- (\frac{9}{5})$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 12 (\frac{x}{10}) + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 2 (6) (\frac{x}{10}) + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.6.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 2 \cdot (6 (\frac{x}{2 \cdot 5})) + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.6.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 2 \cdot (6 (\frac{x}{2 \cdot 5})) + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.6.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 6 (\frac{x}{5}) + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.7

Объединим $6$ и $\frac{x}{5}$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + 2 (6) (\frac{9}{10}) - 9$

Этап 5.3.3.8.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + 2 \cdot (6 (\frac{9}{2 \cdot 5})) - 9$

Этап 5.3.3.8.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + 2 \cdot (6 (\frac{9}{2 \cdot 5})) - 9$

Этап 5.3.3.8.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + 6 (\frac{9}{5}) - 9$

Этап 5.3.3.9

Объединим $6$ и $\frac{9}{5}$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot 9}{5} - 9$

Этап 5.3.3.10

Умножим $6$ на $9$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{54}{5} - 9$

Этап 5.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{- x - 9 + 6 x + 54}{5}$

Этап 5.3.4.2

Добавим $- x$ и $6 x$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 x - 9 + 54}{5}$

Этап 5.3.4.3

Добавим $- 9$ и $54$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 x + 45}{5}$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $5 x + 45$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 (x) + 45}{5}$

Этап 5.3.4.4.2

Вынесем множитель $5$ из $45$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 (x) + 5 \cdot 9}{5}$

Этап 5.3.4.4.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (9)$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 (x + 9)}{5}$

Этап 5.3.4.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 (x + 9)}{5 (1)}$

Этап 5.3.4.4.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 (x + 9)}{5 \cdot 1}$

Этап 5.3.4.4.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{x + 9}{1}$

Этап 5.3.4.4.4.4

Разделим $x + 9$ на $1$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + x + 9$

Этап 5.3.4.5

Объединим противоположные члены в $- 9 + x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = x + 0$

Этап 5.3.4.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$ — обратная к $f (x) = - 2 x + 12 x - 9$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$