Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$

Этап 1

Запишем $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ в виде уравнения.

$y = - 2 x^{2} + 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - 2 y^{2} + 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 y^{2} + 3 = x$ .

$- 2 y^{2} + 3 = x$

Этап 3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y^{2} = x - 3$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 2 y^{2} = x - 3$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 2 y^{2} = x - 3$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Этап 3.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $\sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.5.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.5.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$

Этап 3.5.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ обратной к $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 3]$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (- x + 3)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (- x + 3) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $2 (- x + 3) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $2 (- x + 3) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 5.3.2.1.2.1.2

Разделим $- x + 3$ на $1$ .

$- x + 3 \geq \frac{0}{2}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$- x + 3 \geq 0$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 3$

Этап 5.3.2.3

Разделим каждый член $- x \geq - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим каждый член $- x \geq - 3$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x \leq 3$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 3]$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ — обратная к $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Этап 6