Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ в виде уравнения.

$y = 2 \sqrt{x} + 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 \sqrt{y} + 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 \sqrt{y} + 3 = x$ .

$2 \sqrt{y} + 3 = x$

Этап 3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{y} = x - 3$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим правило умножения к $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 y^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.4

Упростим.

$4 y = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$4 y = (x - 3) (x - 3)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$4 y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$4 y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Этап 3.4.3.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$

Этап 3.5

Разделим каждый член $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 3.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{9}{4}$

Этап 3.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Этап 3.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Этап 3.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ обратной к $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} + \frac{9}{4}$

Этап 5.2.3

Чтобы записать $- \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{4}$

Этап 5.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $\frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 5.2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Этап 5.2.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 3 (2 \sqrt{x}) - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Этап 5.2.5.3.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Этап 5.2.5.3.3

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 9) \cdot 2 + 9}{4}$

Этап 5.2.5.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 6 \sqrt{x} \cdot 2 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Этап 5.2.5.3.5

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Этап 5.2.5.3.6

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 18 + 9}{4}$

Этап 5.2.5.4

Добавим $- 18$ и $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9}{4}$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Пусть $u = \sqrt{x}$ . Подставим $u$ вместо $\sqrt{x}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вычтем $12 u$ из $12 u$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0 + 9 - 9}{4}$

Этап 5.2.6.1.2

Добавим $4 u^{2}$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 9 - 9}{4}$

Этап 5.2.6.1.3

Вычтем $9$ из $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0}{4}$

Этап 5.2.6.1.4

Добавим $4 u^{2}$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2}}{4}$

Этап 5.2.6.2

Заменим все вхождения $u$ на $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Этап 5.2.6.3

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 5.2.6.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 5.2.6.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 5.2.6.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 5.2.6.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.2.6.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.2.7.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Этап 5.3.4.1.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Этап 5.3.4.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{4}} + 3$

Этап 5.3.4.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}} + 3$

Этап 5.3.4.1.5

Перепишем $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.4.1.6

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$\frac{3 x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 5.3.4.1.7

Перепишем многочлен.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.4.1.8

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = \frac{x}{2}$ и $b = \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2} - \frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.4.3

Применим правило умножения к $\frac{x - 3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Этап 5.3.4.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{4}} + 3$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Этап 5.3.4.6

Перепишем $\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{x - 3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.4.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Этап 5.3.4.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Этап 5.3.4.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x - 3 + 3$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x - 3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ — обратная к $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$