Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ в виде уравнения.

$y = 4 + \sqrt[3]{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 4 + \sqrt[3]{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 + \sqrt[3]{y} = x$ .

$4 + \sqrt[3]{y} = x$

Этап 3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt[3]{y} = x - 4$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x - 4)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(x - 4)}^{3}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.3

Умножим $16$ на $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.4

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ обратной к $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = {(4 + \sqrt[3]{x})}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 3 \cdot (16 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.2.3

Умножим $3$ на $16$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.2.4

Умножим $3$ на $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 {\sqrt[3]{x}}^{2} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.2.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.2.6.5

Упростим.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.3

Перепишем ${(4 + \sqrt[3]{x})}^{2}$ в виде $(4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 ((4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.4

Развернем $(4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 (4 + \sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{x} (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.5.1.2

Перенесем $4$ влево от $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.5.1.3

Умножим $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1.3.1

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.5.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.5.1.3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{2}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.5.1.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.5.2

Добавим $4 \sqrt[3]{x}$ и $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 8 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 \cdot 16 - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1

Умножим $- 12$ на $16$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.7.2

Умножим $8$ на $- 12$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Этап 5.2.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \cdot 4 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Этап 5.2.3.9

Умножим $48$ на $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Вычтем $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ из $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 0 + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $64 + 48 \sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Этап 5.2.4.1.3

Добавим $- 192$ и $192$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x + 0 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Этап 5.2.4.1.4

Добавим $64 + 48 \sqrt[3]{x} + x$ и $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Этап 5.2.4.1.5

Вычтем $64$ из $64$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 0 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Этап 5.2.4.1.6

Добавим $0$ и $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $96 \sqrt[3]{x}$ из $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Этап 5.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Добавим $- 48 \sqrt[3]{x}$ и $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x + 0$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сопоставим все члены с членами бинома Ньютона.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (4 x^{2}) + 3 \cdot (4^{2} x) - 1 \cdot 4^{3}}$

Этап 5.3.3.2

Разложим $x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x - 1 \cdot 4^{3}$ на множители с помощью бинома Ньютона.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + x - 4$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $4 + x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ — обратная к $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$