Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$

Этап 1

Запишем $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ в виде уравнения.

$y = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - 4 + 6 \sqrt{7 y + 4}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 + 6 \sqrt{7 y + 4} = x$ .

$- 4 + 6 \sqrt{7 y + 4} = x$

Этап 3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$6 \sqrt{7 y + 4} = x + 4$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(6 \sqrt{7 y + 4})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 y + 4}$ в виде ${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим правило умножения к $6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$36 {({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$36 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$36 {(7 y + 4)}^{1} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.4

Упростим.

$36 (7 y + 4) = {(x + 4)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$36 (7 y) + 36 \cdot 4 = {(x + 4)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.6.1

Умножим $7$ на $36$ .

$252 y + 36 \cdot 4 = {(x + 4)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.6.2

Умножим $36$ на $4$ .

$252 y + 144 = {(x + 4)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(x + 4)}^{2}$ в виде $(x + 4) (x + 4)$ .

$252 y + 144 = (x + 4) (x + 4)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(x + 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$252 y + 144 = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$252 y + 144 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$252 y + 144 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$252 y + 144 = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$252 y + 144 = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$252 y + 144 = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Этап 3.4.3.1.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$252 y + 144 = x^{2} + 8 x + 16$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $144$ из обеих частей уравнения.

$252 y = x^{2} + 8 x + 16 - 144$

Этап 3.5.1.2

Вычтем $144$ из $16$ .

$252 y = x^{2} + 8 x - 128$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $252 y = x^{2} + 8 x - 128$ на $252$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $252 y = x^{2} + 8 x - 128$ на $252$ .

$\frac{252 y}{252} = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $252$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{252 y}{252} = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $8$ и $252$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{252} + \frac{- 128}{252}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $252$ .

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{4 (63)} + \frac{- 128}{252}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 63} + \frac{- 128}{252}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{- 128}{252}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 128$ и $252$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 128$ .

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 (- 32)}{252}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $252$ .

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 \cdot - 32}{4 \cdot 63}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 \cdot - 32}{4 \cdot 63}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{- 32}{63}$

Этап 3.5.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$ обратной к $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}{63} - \frac{32}{63}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 \cdot - 4 + 2 (6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 8 + 2 (6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $6$ на $2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 8 + 12 \sqrt{7 x + 4} - 32}{63}$

Этап 5.2.5

Вычтем $32$ из $- 8$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2) + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2) + 2 (3 \sqrt{7 x + 4}))}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2) + 2 (3 \sqrt{7 x + 4})$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}))}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.1.2

Применим правило умножения к $2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{2^{2} {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.2

Сократим общий множитель $4$ и $252$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 ({(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2})}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $252$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{4 \cdot 63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{4 \cdot 63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.3

Перепишем ${(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}$ в виде $(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.4

Развернем $(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 \cdot - 2 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 \cdot - 2 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.4

Умножим $3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1.4.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 \sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.4.2

Возведем $\sqrt{7 x + 4}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (\sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.4.3

Возведем $\sqrt{7 x + 4}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (\sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {\sqrt{7 x + 4}}^{1 + 1}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {\sqrt{7 x + 4}}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.5

Перепишем ${\sqrt{7 x + 4}}^{2}$ в виде $7 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 x + 4}$ в виде ${(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {({(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x + 4)}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.5.5

Упростим.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x + 4)}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x) + 9 \cdot 4}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.7

Умножим $7$ на $9$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 9 \cdot 4}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.1.8

Умножим $9$ на $4$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 36}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.2

Добавим $4$ и $36$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.5.3

Вычтем $6 \sqrt{7 x + 4}$ из $- 6 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.6

Вынесем множитель $4$ из $- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 40$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10) + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.6.6.2

Вынесем множитель $4$ из $12 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10) + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Этап 5.2.6.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 10) + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Этап 5.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 4 (- 10 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Этап 5.2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 4 \cdot - 10 + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Этап 5.2.8.2

Умножим $4$ на $- 10$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Этап 5.2.8.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Объединим противоположные члены в $40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.1

Вычтем $40$ из $40$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{0 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.9.1.2

Вычтем $12 \sqrt{7 x + 4}$ из $0$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Этап 5.2.9.1.3

Добавим $- 12 \sqrt{7 x + 4}$ и $12 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x + 0}{63}$

Этап 5.2.9.1.4

Добавим $63 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x}{63}$

Этап 5.2.9.2

Сократим общий множитель $63$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x}{63}$

Этап 5.2.9.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) + 4}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{252}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Этап 5.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Вынесем множитель $7$ из $252$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7 (36)}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7 \cdot 36}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Этап 5.3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $63$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{7 (9)}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{7 \cdot 9}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Этап 5.3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Этап 5.3.3.2.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{32}{63}$ в числитель.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{63}) + 4}$

Этап 5.3.3.2.3.2

Вынесем множитель $7$ из $63$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{7 (9)}) + 4}$

Этап 5.3.3.2.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{7 \cdot 9}) + 4}$

Этап 5.3.3.2.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 4}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + 4}$

Этап 5.3.3.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9}}$

Этап 5.3.3.5

Объединим $4$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}}$

Этап 5.3.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32 + 4 \cdot 9}{9}}$

Этап 5.3.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Умножим $4$ на $9$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32 + 36}{9}}$

Этап 5.3.3.7.2

Добавим $- 32$ и $36$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

Этап 5.3.3.8

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.8.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

Этап 5.3.3.8.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{6^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{6})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

Этап 5.3.3.8.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{2^{2}}{9}}$

Этап 5.3.3.8.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.3.8.5

Перепишем $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ в виде ${(\frac{2}{3})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3.8.6

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$\frac{2 x}{9} = 2 \cdot \frac{x}{6} \cdot \frac{2}{3}$

Этап 5.3.3.8.7

Перепишем многочлен.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + 2 \cdot \frac{x}{6} \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3.8.8

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = \frac{x}{6}$ и $b = \frac{2}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3.9

Чтобы записать $\frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.3.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.10.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2})}^{2}}$

Этап 5.3.3.10.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 2 \cdot 2}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.3.12

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 4}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.3.13

Применим правило умножения к $\frac{x + 4}{6}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}}$

Этап 5.3.3.14

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}}$

Этап 5.3.3.15

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}}$

Этап 5.3.3.16

Перепишем $\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}$ в виде ${(\frac{x + 4}{6})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 4}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.3.17

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 (\frac{x + 4}{6})$

Этап 5.3.3.18

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.18.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 (\frac{x + 4}{6})$

Этап 5.3.3.18.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + x + 4$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $- 4 + x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$ — обратная к $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$