Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \ln (\ln (x))$

Этап 1

Запишем $f (x) = \ln (\ln (x))$ в виде уравнения.

$y = \ln (\ln (x))$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \ln (\ln (y))$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (\ln (y)) = x$ .

$\ln (\ln (y)) = x$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\ln (y))} = e^{x}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (\ln (y)) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x} = \ln (y)$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (y) = e^{x}$ .

$\ln (y) = e^{x}$

Этап 3.4.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y)} = e^{e^{x}}$

Этап 3.4.3

Перепишем $\ln (y) = e^{x}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x}} = y$

Этап 3.4.4

Перепишем уравнение в виде $y = e^{e^{x}}$ .

$y = e^{e^{x}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$ обратной к $f (x) = \ln (\ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\ln (\ln (x)))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = e^{e^{\ln (\ln (x))}}$

Этап 5.2.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = e^{\ln (x)}$

Этап 5.2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (e^{e^{x}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (e^{e^{x}}) = \ln (\ln (e^{e^{x}}))$

Этап 5.3.3

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $e^{x}$ из степени.

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x} \ln (e))$

Этап 5.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x} \cdot 1)$

Этап 5.3.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Этап 5.3.6

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (e^{e^{x}}) = x \ln (e)$

Этап 5.3.7

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = x \cdot 1$

Этап 5.3.8

Умножим $x$ на $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$ — обратная к $f (x) = \ln (\ln (x))$ .

$f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$