Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \ln (3 x) - 2$

Этап 1

Запишем $f (x) = \ln (3 x) - 2$ в виде уравнения.

$y = \ln (3 x) - 2$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \ln (3 y) - 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (3 y) - 2 = x$ .

$\ln (3 y) - 2 = x$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\ln (3 y) = x + 2$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (3 y)} = e^{x + 2}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (3 y) = x + 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = 3 y$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $3 y = e^{x + 2}$ .

$3 y = e^{x + 2}$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $3 y = e^{x + 2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $3 y = e^{x + 2}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ обратной к $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\ln (3 x) - 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{(\ln (3 x) - 2) + 2}}{3}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим противоположные члены в $\ln (3 x) - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x) + 0}}{3}$

Этап 5.2.3.1.2

Добавим $\ln (3 x)$ и $0$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

Этап 5.2.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{e^{x + 2}}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Этап 5.3.3.2

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x + 2$ из степени.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Этап 5.3.3.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Этап 5.3.3.4

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 2 - 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ — обратная к $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$