Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \ln (x - 2)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \ln (x - 2)$ в виде уравнения.

$y = \ln (x - 2)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \ln (y - 2)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (y - 2) = x$ .

$\ln (y - 2) = x$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y - 2)} = e^{x}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (y - 2) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y - 2$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $y - 2 = e^{x}$ .

$y - 2 = e^{x}$

Этап 3.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = e^{x} + 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$ обратной к $f (x) = \ln (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\ln (x - 2))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = e^{\ln (x - 2)} + 2$

Этап 5.2.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x - 2 + 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (e^{x} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln ((e^{x} + 2) - 2)$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $(e^{x} + 2) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln (e^{x} + 0)$

Этап 5.3.3.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln (e^{x})$

Этап 5.3.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (e^{x} + 2) = x \ln (e)$

Этап 5.3.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e^{x} + 2) = x \cdot 1$

Этап 5.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f (e^{x} + 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$ — обратная к $f (x) = \ln (x - 2)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$