Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ в виде уравнения.

$y = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ .

$500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ на $500$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ на $500$ .

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим ${(1 - \frac{y}{50})}^{2}$ на $1$ .

${(1 - \frac{y}{50})}^{2} = \frac{x}{500}$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{x}{500}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{500}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\frac{x}{500}$ в виде ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{500}}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем полную степень $10^{2}$ из $500$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}}$

Этап 3.4.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}}$

Этап 3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{x}{5}}$

Этап 3.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{x}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

Этап 3.4.4

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 3.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 3.4.5.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 3.4.5.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 3.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 3.4.5.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 3.4.5.6.5

Найдем экспоненту.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5}$

Этап 3.4.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Умножим $\frac{1}{10}$ на $\frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

Этап 3.4.7.2

Умножим $10$ на $5$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$

Этап 3.4.8

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$1 - \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

Этап 3.5.3

Умножим обе части уравнения на $- 50$ .

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Упростим $- 50 (- \frac{y}{50})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{50}$ в числитель.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.4.1.1.1.2

Вынесем множитель $50$ из $- 50$ .

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.4.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.4.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.4.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.4.1.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Упростим $- 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 50 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Этап 3.5.4.2.1.2

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $50$ из $- 50$ .

$y = 50 (- 1) \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Этап 3.5.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Этап 3.5.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Этап 3.5.4.2.1.3

Умножим $- 50$ на $- 1$ .

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

Этап 3.5.5

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$1 - \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Этап 3.5.6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

Этап 3.5.7

Умножим обе части уравнения на $- 50$ .

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.8

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.1

Упростим $- 50 (- \frac{y}{50})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.1.1

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{50}$ в числитель.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.8.1.1.1.2

Вынесем множитель $50$ из $- 50$ .

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.8.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.8.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.8.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.8.1.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Этап 3.5.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.2.1

Упростим $- 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50}) - 50 \cdot - 1$

Этап 3.5.8.2.1.2

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{5 x}}{50}$ в числитель.

$y = - 50 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Этап 3.5.8.2.1.2.2

Вынесем множитель $50$ из $- 50$ .

$y = 50 (- 1) \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Этап 3.5.8.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Этап 3.5.8.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = - - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Этап 3.5.8.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Этап 3.5.8.2.1.3.2

Умножим $\sqrt{5 x}$ на $1$ .

$y = \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Этап 3.5.8.2.1.3.3

Умножим $- 50$ на $- 1$ .

$y = \sqrt{5 x} + 50$

Этап 3.5.9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ обратной к $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ и $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $- \sqrt{5 x} + 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 x \geq 0$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $5 x \geq 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $5 x \geq 0$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{0}{5}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$x \geq 0$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ , представляет область определения $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ , то $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ — обратная к $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

Этап 6