Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = - 2 x - 5$

Этап 1

Запишем $g (x) = - 2 x - 5$ в виде уравнения.

$y = - 2 x - 5$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - 2 y - 5$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 y - 5 = x$ .

$- 2 y - 5 = x$

Этап 3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$- 2 y = x + 5$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 2 y = x + 5$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 2 y = x + 5$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{5}{- 2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{5}{- 2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{- 2} + \frac{5}{- 2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{5}{- 2}$

Этап 3.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $g^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$g^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $g^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$ обратной к $g (x) = - 2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $g^{- 1} (g (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g^{- 1} (g (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $g^{- 1} (- 2 x - 5)$ , подставив значение $g$ в $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (- 2 x - 5) = - \frac{- 2 x - 5}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$g^{- 1} (- 2 x - 5) = \frac{- (- 2 x - 5) - 5}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g^{- 1} (- 2 x - 5) = \frac{- (- 2 x) + 5 - 5}{2}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$g^{- 1} (- 2 x - 5) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$g^{- 1} (- 2 x - 5) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в $2 x + 5 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$g^{- 1} (- 2 x - 5) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$g^{- 1} (- 2 x - 5) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$g^{- 1} (- 2 x - 5) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$g^{- 1} (- 2 x - 5) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $g (g^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g (g^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2})$ , подставив значение $g^{- 1}$ в $g$ .

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) - 5$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 (- \frac{x}{2}) - 2 (- \frac{5}{2}) - 5$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{2}$ в числитель.

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 \frac{- x}{2} - 2 (- \frac{5}{2}) - 5$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2}) - 2 (- \frac{5}{2}) - 5$

Этап 5.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2}) - 2 (- \frac{5}{2}) - 5$

Этап 5.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = - 1 (- x) - 2 (- \frac{5}{2}) - 5$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = 1 x - 2 (- \frac{5}{2}) - 5$

Этап 5.3.3.4

Умножим $x$ на $1$ .

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = x - 2 (- \frac{5}{2}) - 5$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = x - 2 (\frac{- 5}{2}) - 5$

Этап 5.3.3.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = x + 2 (- 1) (\frac{- 5}{2}) - 5$

Этап 5.3.3.5.3

Сократим общий множитель.

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = x + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 5}{2})) - 5$

Этап 5.3.3.5.4

Перепишем это выражение.

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = x - 1 \cdot - 5 - 5$

Этап 5.3.3.6

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = x + 5 - 5$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 5 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$g (- \frac{x}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ , то $g^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$ — обратная к $g (x) = - 2 x - 5$ .

$g^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$