Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \frac{3}{x} + 1$

Этап 1

Запишем $g (x) = \frac{3}{x} + 1$ в виде уравнения.

$y = \frac{3}{x} + 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3}{y} + 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3}{y} + 1 = x$ .

$\frac{3}{y} + 1 = x$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3}{y} = x - 1$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 3.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{3}{y} = x - 1$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{3}{y} = x - 1$ на $y$ .

$\frac{3}{y} y = x y - y$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{y} y = x y - y$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 = x y - y$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x y - y = 3$ .

$x y - y = 3$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $x y - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x - y = 3$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = 3$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 3$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $y (x - 1) = 3$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = 3$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3}{x - 1}$

Этап 4

Заменим $y$ на $g^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$g^{- 1} (x) = \frac{3}{x - 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $g^{- 1} (x) = \frac{3}{x - 1}$ обратной к $g (x) = \frac{3}{x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $g^{- 1} (g (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g^{- 1} (g (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1)$ , подставив значение $g$ в $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = \frac{3}{(\frac{3}{x} + 1) - 1}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = \frac{3}{\frac{3}{x} + 0}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $\frac{3}{x}$ и $0$ .

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = \frac{3}{\frac{3}{x}}$

Этап 5.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.2.5.2

Перепишем это выражение.

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $g (g^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g (g^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $g (\frac{3}{x - 1})$ , подставив значение $g^{- 1}$ в $g$ .

$g (\frac{3}{x - 1}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 1}} + 1$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$g (\frac{3}{x - 1}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$g (\frac{3}{x - 1}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$g (\frac{3}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$g (\frac{3}{x - 1}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$g (\frac{3}{x - 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ , то $g^{- 1} (x) = \frac{3}{x - 1}$ — обратная к $g (x) = \frac{3}{x} + 1$ .

$g^{- 1} (x) = \frac{3}{x - 1}$