Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \sqrt[3]{8 x}$

Этап 1

Запишем $g (x) = \sqrt[3]{8 x}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[3]{8 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[3]{8 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{8 y} = x$ .

$\sqrt[3]{8 y} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{8 y}}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{8 y}$ в виде ${(8 y)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(8 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(8 y)}^{1} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$8 y = x^{3}$

Этап 3.4

Разделим каждый член $8 y = x^{3}$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $8 y = x^{3}$ на $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{8}$

Этап 4

Заменим $y$ на $g^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$

Этап 5

Проверим, является ли $g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$ обратной к $g (x) = \sqrt[3]{8 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $g^{- 1} (g (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g^{- 1} (g (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x})$ , подставив значение $g$ в $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{{(\sqrt[3]{8 x})}^{3}}{8}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{{\sqrt[3]{2^{3} x}}^{3}}{8}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x})}^{3}}{8}$

Этап 5.2.3.3

Применим правило умножения к $2 \sqrt[3]{x}$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}{8}$

Этап 5.2.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 {\sqrt[3]{x}}^{3}}{8}$

Этап 5.2.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8}$

Этап 5.2.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8}$

Этап 5.2.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x^{\frac{3}{3}}}{8}$

Этап 5.2.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x^{\frac{3}{3}}}{8}$

Этап 5.2.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x}{8}$

Этап 5.2.3.5.5

Упростим.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x}{8}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x}{8}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $g (g^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g (g^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $g (\frac{x^{3}}{8})$ , подставив значение $g^{- 1}$ в $g$ .

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3}}{8})}$

Этап 5.3.3

Объединим $8$ и $\frac{x^{3}}{8}$ .

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{8}}$

Этап 5.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим выражение $\frac{8 x^{3}}{8}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Сократим общий множитель.

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{8}}$

Этап 5.3.4.1.2

Перепишем это выражение.

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$g (\frac{x^{3}}{8}) = x$

Этап 5.4

Так как $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ , то $g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$ — обратная к $g (x) = \sqrt[3]{8 x}$ .

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$