Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$ в виде уравнения.

$y = {(x - 5)}^{3} + 6$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(y - 5)}^{3} + 6$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(y - 5)}^{3} + 6 = x$ .

${(y - 5)}^{3} + 6 = x$

Этап 3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

${(y - 5)}^{3} = x - 6$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 5 = \sqrt[3]{x - 6}$

Этап 3.4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt[3]{x - 6} + 5$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$ обратной к $f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = \sqrt[3]{({(x - 5)}^{3} + 6) - 6} + 5$

Этап 5.2.3

Объединим противоположные члены в $\sqrt[3]{({(x - 5)}^{3} + 6) - 6} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $6$ из $6$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3} + 0} + 5$

Этап 5.2.3.2

Добавим ${(x - 5)}^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

Этап 5.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = x - 5 + 5$

Этап 5.2.5

Объединим противоположные члены в $x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = x + 0$

Этап 5.2.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{x - 6} + 5)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {((\sqrt[3]{x - 6} + 5) - 5)}^{3} + 6$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в ${((\sqrt[3]{x - 6} + 5) - 5)}^{3} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(\sqrt[3]{x - 6} + 0)}^{3} + 6$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\sqrt[3]{x - 6}$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {\sqrt[3]{x - 6}}^{3} + 6$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ в виде $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 6}$ в виде ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 6$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 6$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = (x - 6) + 6$

Этап 5.3.4.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = x - 6 + 6$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x - 6 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$ — обратная к $f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$