Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ в виде уравнения.

$y = {(x - 1)}^{2} - 2$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(y - 1)}^{2} - 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(y - 1)}^{2} - 2 = x$ .

${(y - 1)}^{2} - 2 = x$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

${(y - 1)}^{2} = x + 2$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 1 = \pm \sqrt{x + 2}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 1 = \sqrt{x + 2}$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt{x + 2} + 1$

Этап 3.4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 1 = - \sqrt{x + 2}$

Этап 3.4.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \sqrt{x + 2} + 1$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x + 2} + 1$

$y = - \sqrt{x + 2} + 1$

$y = \sqrt{x + 2} + 1$

$y = - \sqrt{x + 2} + 1$

$y = \sqrt{x + 2} + 1$

$y = - \sqrt{x + 2} + 1$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$ обратной к $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 2, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\sqrt{x + 2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 2 \geq 0$

Этап 5.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 2$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 2, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$ , представляет область определения $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$ — обратная к $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$

Этап 6