Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{4 y - 2}{3 y + 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4 y - 2}{3 y + 1} = x$ .

$\frac{4 y - 2}{3 y + 1} = x$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $4 y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y$ .

$\frac{2 (2 y) - 2}{3 y + 1} = x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (2 y) + 2 (- 1)}{3 y + 1} = x$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 y) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} = x$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 y + 1, 1$

Этап 3.3.2

Избавимся от скобок.

$3 y + 1, 1$

Этап 3.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$3 y + 1$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} = x$ умножим на $3 y + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} = x$ на $3 y + 1$ .

$\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} (3 y + 1) = x (3 y + 1)$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $3 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} (3 y + 1) = x (3 y + 1)$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 (2 y - 1) = x (3 y + 1)$

Этап 3.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 1 = x (3 y + 1)$

Этап 3.4.2.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 1 = x (3 y + 1)$

Этап 3.4.2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 y - 2 = x (3 y + 1)$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y - 2 = x (3 y) + x \cdot 1$

Этап 3.4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 y - 2 = 3 x y + x \cdot 1$

Этап 3.4.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$4 y - 2 = 3 x y + x$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $3 x y$ из обеих частей уравнения.

$4 y - 2 - 3 x y = x$

Этап 3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$4 y - 3 x y = x + 2$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $4 y - 3 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$y \cdot 4 - 3 x y = x + 2$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 3 x y$ .

$y \cdot 4 + y (- 3 x) = x + 2$

Этап 3.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 4 + y (- 3 x)$ .

$y (4 - 3 x) = x + 2$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $y (4 - 3 x) = x + 2$ на $4 - 3 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $y (4 - 3 x) = x + 2$ на $4 - 3 x$ .

$\frac{y (4 - 3 x)}{4 - 3 x} = \frac{x}{4 - 3 x} + \frac{2}{4 - 3 x}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $4 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (4 - 3 x)}{4 - 3 x} = \frac{x}{4 - 3 x} + \frac{2}{4 - 3 x}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{4 - 3 x} + \frac{2}{4 - 3 x}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$ обратной к $f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) + 2}{4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1}}$

Этап 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{\frac{4 x - 2}{3 x + 1} + 2}{4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1}}$ на $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{3 x + 1}{3 x + 1} \cdot \frac{\frac{4 x - 2}{3 x + 1} + 2}{4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1}}$

Этап 5.2.3.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{4 x - 2}{3 x + 1} + 2)}{(3 x + 1) (4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x) - 2}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x) - 2}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.5.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $(3 x + 1) \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1} + (3 x + 1) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $(3 x + 1) \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.6.1.2

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $(3 x + 1) \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) (2)}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.6.1.3

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1} + 2)}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.6.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1} + \frac{2 (3 x + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1) + 2 (3 x + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.6.4

Перепишем $\frac{2 (2 x - 1) + 2 (3 x + 1)}{3 x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x - 1) + 2 (3 x + 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1 + 3 x + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.6.4.2

Добавим $2 x$ и $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (5 x - 1 + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.6.4.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (5 x + 0)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.6.4.4

Добавим $5 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 \cdot (5 x)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.6.4.5

Умножим $2$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.1

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $(3 x + 1) \cdot 4$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4) + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.1.2

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $(3 x + 1) (4) + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 - 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.2

Умножим $- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 + \frac{- 3 (2 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.2.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 + \frac{- 6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 - \frac{(6) (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{4 (3 x + 1)}{3 x + 1} - \frac{6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{4 (3 x + 1) - 6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6

Перепишем $\frac{4 (3 x + 1) - 6 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (3 x + 1) - 6 (2 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (3 x + 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x + 1)) - 6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 (2 x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x + 1)) + 2 (- 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 (3 x + 1)) + 2 (- 3 (2 x - 1))$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x + 1) - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x) + 2 \cdot 1 - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 \cdot 1 - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6.6

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 6 x - 3 \cdot - 1)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6.7

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 6 x + 3)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6.8

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (0 + 2 + 3)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6.9

Добавим $0$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 + 3)}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.6.10

Добавим $2$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 \cdot 5}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.7.7

Умножим $2$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{10}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{10}{3 x + 1})}$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{\frac{10 x}{3 x + 1}}{\frac{10}{3 x + 1}}$

Этап 5.2.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{10 x}{3 x + 1} \cdot \frac{3 x + 1}{10}$

Этап 5.2.10

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{10 (x)}{3 x + 1} \cdot \frac{3 x + 1}{10}$

Этап 5.2.10.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{10 x}{3 x + 1} \cdot \frac{3 x + 1}{10}$

Этап 5.2.10.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1)$

Этап 5.2.11

Сократим общий множитель $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1)$

Этап 5.2.11.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x + 2}{4 - 3 x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{4 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) - 2}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \frac{x + 2}{4 - 3 x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \frac{x + 2}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (2 (\frac{x + 2}{4 - 3 x})) - 2}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (2 (\frac{x + 2}{4 - 3 x})) + 2 (- 1)}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 \frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 2 (- 1)$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (2 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) - 1)}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.2

Объединим $2$ и $\frac{x + 2}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2)}{4 - 3 x} - 1)}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2)}{4 - 3 x} - 1 \cdot \frac{4 - 3 x}{4 - 3 x})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2)}{4 - 3 x} + \frac{- (4 - 3 x)}{4 - 3 x})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2) - (4 - 3 x)}{4 - 3 x})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.6

Изменим порядок членов.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2) - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.7

Перепишем $\frac{2 (x + 2) - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 1 \cdot 4 - (- 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.7.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 4 - (- 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.7.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 4 + 3 x}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.7.6

Добавим $2 x$ и $3 x$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x + 4 - 4}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.7.7

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x + 0}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.3.7.8

Добавим $5 x$ и $0$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим $3$ и $\frac{x + 2}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{3 (x + 2)}{4 - 3 x} + 1}$

Этап 5.3.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{3 (x + 2)}{4 - 3 x} + \frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{3 (x + 2) + 4 - 3 x}{4 - 3 x}}$

Этап 5.3.4.4

Изменим порядок членов.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{- 3 x + 3 (x + 2) + 4}{- 3 x + 4}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{- 3 x + 3 (x + 2) + 4}{- 3 x + 4}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{- 3 x + 3 x + 3 \cdot 2 + 4}{- 3 x + 4}}$

Этап 5.3.4.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{- 3 x + 3 x + 6 + 4}{- 3 x + 4}}$

Этап 5.3.4.5.3

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{0 + 6 + 4}{- 3 x + 4}}$

Этап 5.3.4.5.4

Добавим $0$ и $6$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{6 + 4}{- 3 x + 4}}$

Этап 5.3.4.5.5

Добавим $6$ и $4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{10}{- 3 x + 4}}$

Этап 5.3.5

Объединим $2$ и $\frac{5 x}{- 3 x + 4}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{- 3 x + 4}}{\frac{10}{- 3 x + 4}}$

Этап 5.3.6

Умножим $2$ на $5$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{10 x}{- 3 x + 4}}{\frac{10}{- 3 x + 4}}$

Этап 5.3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{10 x}{- 3 x + 4} \cdot \frac{- 3 x + 4}{10}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{10 (x)}{- 3 x + 4} \cdot \frac{- 3 x + 4}{10}$

Этап 5.3.8.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{10 x}{- 3 x + 4} \cdot \frac{- 3 x + 4}{10}$

Этап 5.3.8.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{x}{- 3 x + 4} \cdot (- 3 x + 4)$

Этап 5.3.9

Умножим $\frac{x}{- 3 x + 4}$ на $- 3 x + 4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{x (- 3 x + 4)}{- 3 x + 4}$

Этап 5.3.10

Сократим общий множитель $- 3 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{x (- 3 x + 4)}{- 3 x + 4}$

Этап 5.3.10.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$ — обратная к $f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$