Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ в виде уравнения.

$y = \frac{3}{x - 1} + 2$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3}{y - 1} + 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3}{y - 1} + 2 = x$ .

$\frac{3}{y - 1} + 2 = x$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3}{y - 1} = x - 2$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 1, 1, 1$

Этап 3.3.2

Избавимся от скобок.

$y - 1, 1, 1$

Этап 3.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 1$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ умножим на $y - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ на $y - 1$ .

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 = x y + x \cdot - 1 - 2 (y - 1)$

Этап 3.4.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$3 = x y - 1 \cdot x - 2 (y - 1)$

Этап 3.4.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$3 = x y - x - 2 (y - 1)$

Этап 3.4.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 = x y - x - 2 y - 2 \cdot - 1$

Этап 3.4.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$3 = x y - x - 2 y + 2$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x y - x - 2 y + 2 = 3$ .

$x y - x - 2 y + 2 = 3$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x y - 2 y + 2 = 3 + x$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x y - 2 y = 3 + x - 2$

Этап 3.5.2.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$x y - 2 y = x + 1$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $x y - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x - 2 y = x + 1$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$y x + y \cdot - 2 = x + 1$

Этап 3.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = x + 1$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $y (x - 2) = x + 1$ на $x - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $y (x - 2) = x + 1$ на $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x + 1}{x - 2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ обратной к $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(\frac{3}{x - 1} + 2) + 1}{(\frac{3}{x - 1} + 2) - 2}$

Этап 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$

Этап 5.2.3.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 + 1)}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 - 2)}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Изменим порядок $x - 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 2 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.6.2

Добавим $2 \cdot (x - 1)$ и $1 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 + 3 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.6.3.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (1 + x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.6.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (x + 0)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.6.5

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + x \cdot 2 - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.7.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.7.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.2.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Этап 5.2.7.5

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Этап 5.2.7.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x + 2}$

Этап 5.2.7.7

Вычтем $2$ из $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 x + 2}$

Этап 5.2.7.8

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

Этап 5.2.7.9

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{1 + 2}$

Этап 5.2.7.10

Добавим $1$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x + 1}{x - 2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{(\frac{x + 1}{x - 2}) - 1} + 2$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}} + 2$

Этап 5.3.3.1.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Этап 5.3.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Этап 5.3.3.1.4

Перепишем $\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Этап 5.3.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Этап 5.3.3.1.4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{0 + 1 + 2}{x - 2}} + 2$

Этап 5.3.3.1.4.4

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{1 + 2}{x - 2}} + 2$

Этап 5.3.3.1.4.5

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 2}} + 2$

Этап 5.3.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Этап 5.3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x - 2 + 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ — обратная к $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$