Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3 - 8 y^{3}}{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$ .

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 3.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 - 8 y^{3} = x \cdot 2$

Этап 3.3.1.1.2

Изменим порядок $3$ и $- 8 y^{3}$ .

$- 8 y^{3} + 3 = x \cdot 2$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- 8 y^{3} + 3 = 2 x$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$y^{3} = \frac{2 (x)}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Этап 3.4.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Этап 3.4.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Этап 3.4.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 8}$

Этап 3.4.2.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{3}{8}$

Этап 3.4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$

Этап 3.4.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Чтобы записать $- \frac{x}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8}}$

Этап 3.4.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Умножим $\frac{x}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8}}$

Этап 3.4.4.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{3}{8}}$

Этап 3.4.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot 2 + 3}{8}}$

Этап 3.4.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 2 x + 3}{8}}$

Этап 3.4.4.5

Перепишем $\frac{- 2 x + 3}{8}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1

Вынесем полную степень $1^{3}$ из $- 2 x + 3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{8}}$

Этап 3.4.4.5.2

Вынесем полную степень $2^{3}$ из $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}}$

Этап 3.4.4.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)}$

Этап 3.4.4.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{- 2 x + 3}$

Этап 3.4.4.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ обратной к $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 2 \frac{3 - 8 x^{3}}{2} + 3}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 1) (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (- 1 \frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

Этап 5.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 (3 - 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Этап 5.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 \cdot 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Этап 5.2.3.4

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 + 8 x^{3} + 3}}{2}$

Этап 5.2.3.5

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

Этап 5.2.3.6

Добавим $8 x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Этап 5.2.3.7

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Этап 5.2.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})}^{3}}{2}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ в виде ${(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2})}^{3}}{2}$

Этап 5.3.3.2

Применим правило умножения к $\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}}{2}$

Этап 5.3.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

Этап 5.3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

Этап 5.3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

Этап 5.3.3.3.2

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

Этап 5.3.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{8}}{2}$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 (- 1) (\frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

Этап 5.3.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 \cdot (- 1 \frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

Этап 5.3.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x + 3)}{2}$

Этап 5.3.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x) - 1 \cdot 3}{2}$

Этап 5.3.3.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 1 \cdot 3}{2}$

Этап 5.3.3.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 3}{2}$

Этап 5.3.3.9

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.3.3.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ — обратная к $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$