Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{4}{2 - x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{4}{2 - x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{4}{2 - x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{4}{2 - y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4}{2 - y} = x$ .

$\frac{4}{2 - y} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 - y, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$2 - y, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 - y$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{4}{2 - y} = x$ умножим на $2 - y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{4}{2 - y} = x$ на $2 - y$ .

$\frac{4}{2 - y} (2 - y) = x (2 - y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{2 - y} (2 - y) = x (2 - y)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 = x (2 - y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = x \cdot 2 + x (- y)$

Этап 3.3.3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$4 = 2 \cdot x + x (- y)$

Этап 3.3.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 = 2 x - x y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $2 x - x y = 4$ .

$2 x - x y = 4$

Этап 3.4.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- x y = 4 - 2 x$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $- x y = 4 - 2 x$ на $- x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $- x y = 4 - 2 x$ на $- x$ .

$\frac{- x y}{- x} = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x y}{x} = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Этап 3.4.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Этап 3.4.3.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{4}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Этап 3.4.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{4}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Этап 3.4.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{4}{x} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.3.3.1.2.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2}{- 1}$ .

$y = - \frac{4}{x} - 1 \cdot - 2$

Этап 3.4.3.3.1.3

Перепишем $- 1 \cdot - 2$ в виде $- - 2$ .

$y = - \frac{4}{x} - - 2$

Этап 3.4.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = - \frac{4}{x} + 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$ обратной к $f (x) = \frac{4}{2 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{4}{2 - x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - \frac{4}{\frac{4}{2 - x}} + 2$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - (4 (\frac{2 - x}{4})) + 2$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - (4 (\frac{2 - x}{4})) + 2$

Этап 5.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - (2 - x) + 2$

Этап 5.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Этап 5.2.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 2 + x + 2$

Этап 5.2.3.5

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 2 + 1 x + 2$

Этап 5.2.3.5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 2 + x + 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $- 2 + x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{4}{x} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{4}{2 - (- \frac{4}{x} + 2)}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $2 - (- \frac{4}{x} + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{4}{- 1 \cdot - 2 - (- \frac{4}{x} + 2)}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 2) - (- \frac{4}{x} + 2)$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{4}{- 1 (- 2 - \frac{4}{x} + 2)}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2 \cdot 2}{- 1 (- 2 - \frac{4}{x} + 2)}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 2 - \frac{4}{x} + 2)$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 1 (- 1 - \frac{2}{x} + 1))}$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 1 (- 1 - \frac{2}{x} + 1))}$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{- 1 (- 1 - \frac{2}{x} + 1)}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{- 1 (- \frac{2}{x} + 0)}$

Этап 5.3.4.2

Добавим $- \frac{2}{x}$ и $0$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{- 1 \cdot (- 1 \frac{2}{x})}$

Этап 5.3.4.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Этап 5.3.4.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{1 (\frac{2}{x})}$

Этап 5.3.4.3.3

Умножим $\frac{2}{x}$ на $1$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$ — обратная к $f (x) = \frac{4}{2 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$