Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3 x}{x - 2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{3 x}{x - 2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3 y}{y - 2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y - 2$ .

$(y - 2) (x) = (\frac{3 y}{y - 2}) (y - 2)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 2 x = (\frac{3 y}{y - 2}) (y - 2)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - 2 x = \frac{3 y}{y - 2} (y - 2)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - 2 x = 3 y$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$y x - 2 x - 3 y = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$y x - 3 y = 2 x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - 3 y = 2 x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 3 y$ .

$y (x) + y \cdot - 3 = 2 x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 3$ .

$y (x - 3) = 2 x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (x - 3) = 2 x$ на $x - 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 3) = 2 x$ на $x - 3$ .

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{2 x}{x - 3}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{2 x}{x - 3}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x}{x - 3}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{x - 3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ обратной к $f (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{x - 2})}{(\frac{3 x}{x - 2}) - 3}$

Этап 5.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3 x}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.4

Перепишем $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 3 (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 (x - 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (- (x - 2))$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.4.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.4.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.4.5

Добавим $0$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.5

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

Этап 5.2.5

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

Этап 5.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Этап 5.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Этап 5.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{2 x}{x - 3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 3})}{(\frac{2 x}{x - 3}) - 2}$

Этап 5.3.3

Объединим $3$ и $\frac{2 x}{x - 3}$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2 \cdot \frac{x - 3}{x - 3}}$

Этап 5.3.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} + \frac{- 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем $\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2 (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Этап 5.3.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (x - 3)$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 3))}{x - 3}}$

Этап 5.3.4.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- (x - 3))$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - (x - 3))}{x - 3}}$

Этап 5.3.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

Этап 5.3.4.4.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

Этап 5.3.4.4.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (0 + 3)}{x - 3}}$

Этап 5.3.4.4.5

Добавим $0$ и $3$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 \cdot 3}{x - 3}}$

Этап 5.3.4.5

Умножим $2$ на $3$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

Этап 5.3.5

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{6 x}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

Этап 5.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Этап 5.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Этап 5.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Этап 5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 x}{x - 3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ — обратная к $f (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{x - 3}$