Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ в виде уравнения.

$y = \frac{2 x}{x - 6}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2 y}{y - 6}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y - 6$ .

$(y - 6) (x) = (\frac{2 y}{y - 6}) (y - 6)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 6 x = (\frac{2 y}{y - 6}) (y - 6)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $y - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - 6 x = \frac{2 y}{y - 6} (y - 6)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - 6 x = 2 y$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$y x - 6 x - 2 y = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $6 x$ к обеим частям уравнения.

$y x - 2 y = 6 x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - 2 y = 6 x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 6 x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 6 x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (x - 2) = 6 x$ на $x - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 2) = 6 x$ на $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{6 x}{x - 2}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{6 x}{x - 2}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{6 x}{x - 2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$ обратной к $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 (\frac{2 x}{x - 6})}{(\frac{2 x}{x - 6}) - 2}$

Этап 5.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $6$ и $(\frac{2 x}{x - 6}) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 (\frac{2 x}{x - 6})$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{(\frac{2 x}{x - 6}) - 2}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6}) - 2}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6}) + 2 (- 1)}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \frac{x}{x - 6} + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6} - 1)}$

Этап 5.2.3.1.2.4

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6} - 1)}$

Этап 5.2.3.1.2.5

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 6})}{\frac{x}{x - 6} - 1}$

Этап 5.2.3.2

Объединим $3$ и $\frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} - 1}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} - 1 \cdot \frac{x - 6}{x - 6}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} + \frac{- (x - 6)}{x - 6}}$

Этап 5.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - (x - 6)}{x - 6}}$

Этап 5.2.4.4

Перепишем $\frac{x - (x - 6)}{x - 6}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - x + 6}{x - 6}}$

Этап 5.2.4.4.2

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - x + 6}{x - 6}}$

Этап 5.2.4.4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{0 + 6}{x - 6}}$

Этап 5.2.4.4.4

Добавим $0$ и $6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{6}{x - 6}}$

Этап 5.2.5

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{x - 6}}{\frac{6}{x - 6}}$

Этап 5.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Этап 5.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Этап 5.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{6 x}{x - 2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{(\frac{6 x}{x - 2}) - 6}$

Этап 5.3.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{6 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2}) - 6}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2}) + 2 \cdot - 3}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \frac{3 x}{x - 2} + 2 (- 3)$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2} - 3)}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2} - 3)}$

Этап 5.3.3.5

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Этап 5.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Этап 5.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Этап 5.3.5.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.5.4

Перепишем $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 3 (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.5.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 (x - 2)$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Этап 5.3.5.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Этап 5.3.5.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.5.4.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.5.4.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.5.4.5

Добавим $0$ и $2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

Этап 5.3.5.5

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{6}{x - 2}}$

Этап 5.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot (1 (\frac{x - 2}{6}))$

Этап 5.3.7

Умножим $\frac{x - 2}{6}$ на $1$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Этап 5.3.8.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Этап 5.3.8.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 5.3.9.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$ — обратная к $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$