Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{- 2 y - 1}{- y + 2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{- 2 y - 1}{- y + 2} = x$ .

$\frac{- 2 y - 1}{- y + 2} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$- y + 2, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$- y + 2, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$- y + 2$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{- 2 y - 1}{- y + 2} = x$ умножим на $- y + 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{- 2 y - 1}{- y + 2} = x$ на $- y + 2$ .

$\frac{- 2 y - 1}{- y + 2} (- y + 2) = x (- y + 2)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{- 2 y - 1}{- y + 2}$ на $- y + 2$ .

$\frac{(- 2 y - 1) (- y + 2)}{- y + 2} = x (- y + 2)$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $- y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 2 y - 1) (- y + 2)}{- y + 2} = x (- y + 2)$

Этап 3.3.2.2.2

Разделим $- 2 y - 1$ на $1$ .

$- 2 y - 1 = x (- y + 2)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 y - 1 = x (- y) + x \cdot 2$

Этап 3.3.3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 y - 1 = - x y + x \cdot 2$

Этап 3.3.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- 2 y - 1 = - x y + 2 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $x y$ к обеим частям уравнения.

$- 2 y - 1 + x y = 2 x$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 y + x y = 2 x + 1$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$y \cdot - 2 + x y = 2 x + 1$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y \cdot - 2 + y x = 2 x + 1$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 2 + y x$ .

$y (- 2 + x) = 2 x + 1$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (- 2 + x) = 2 x + 1$ на $- 2 + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (- 2 + x) = 2 x + 1$ на $- 2 + x$ .

$\frac{y (- 2 + x)}{- 2 + x} = \frac{2 x}{- 2 + x} + \frac{1}{- 2 + x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- 2 + x)}{- 2 + x} = \frac{2 x}{- 2 + x} + \frac{1}{- 2 + x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x}{- 2 + x} + \frac{1}{- 2 + x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x + 1}{- 2 + x}$

Этап 3.4.4.3.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y = \frac{2 x + 1}{- 1 (2) + x}$

Этап 3.4.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$y = \frac{2 x + 1}{- 1 (2) - 1 (- x)}$

Этап 3.4.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - 1 (- x)$ .

$y = \frac{2 x + 1}{- 1 (2 - x)}$

Этап 3.4.4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 x + 1}{2 - x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x + 1}{2 - x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x + 1}{2 - x}$ обратной к $f (x) = \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) + 1}{2 - (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2})}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $2$ и $\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{2 (- 2 x - 1)}{- x + 2} + 1}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{2 (- 2 x - 1)}{- x + 2} + \frac{- x + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{2 (- 2 x - 1) - x + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.3.4

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- x + 2 (- 2 x - 1) + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.3.5

Перепишем $\frac{- x + 2 (- 2 x - 1) + 2}{- x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- x + 2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1 + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.3.5.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- x - 4 x + 2 \cdot - 1 + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.3.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- x - 4 x - 2 + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.3.5.4

Вычтем $4 x$ из $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- 5 x - 2 + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.3.5.5

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- 5 x + 0}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.3.5.6

Добавим $- 5 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- 5 x}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- x + 2}{- x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 (- x + 2)}{- x + 2} - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 (- x + 2) - (- 2 x - 1)}{- x + 2}}$

Этап 5.2.4.3

Перепишем $\frac{2 (- x + 2) - (- 2 x - 1)}{- x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 (- x) + 2 \cdot 2 - (- 2 x - 1)}{- x + 2}}$

Этап 5.2.4.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{- 2 x + 2 \cdot 2 - (- 2 x - 1)}{- x + 2}}$

Этап 5.2.4.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{- 2 x + 4 - (- 2 x - 1)}{- x + 2}}$

Этап 5.2.4.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{- 2 x + 4 - (- 2 x) + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.4.3.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{- 2 x + 4 + 2 x + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.4.3.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{- 2 x + 4 + 2 x + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.4.3.7

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{0 + 4 + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.4.3.8

Добавим $0$ и $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{4 + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.2.4.3.9

Добавим $4$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{5}{- x + 2}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (- \frac{5 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5})$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 x}{- x + 2}$ в числитель.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{- 5 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5})$

Этап 5.2.6.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{5 (- x)}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5})$

Этап 5.2.6.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{5 (- x)}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5})$

Этап 5.2.6.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{- x}{- x + 2} \cdot (- x + 2))$

Этап 5.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (- \frac{x}{- x + 2} \cdot (- x + 2))$

Этап 5.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (- \frac{x}{- x + 2} \cdot (- x) - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Этап 5.2.9

Умножим $- \frac{x}{- x + 2} (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (1 (\frac{x}{- x + 2}) \cdot x - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Этап 5.2.9.2

Умножим $\frac{x}{- x + 2}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x}{- x + 2} \cdot x - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Этап 5.2.9.3

Объединим $\frac{x}{- x + 2}$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x \cdot x}{- x + 2} - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Этап 5.2.9.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x \cdot x}{- x + 2} - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Этап 5.2.9.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x \cdot x}{- x + 2} - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Этап 5.2.9.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x^{1 + 1}}{- x + 2} - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Этап 5.2.9.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x^{2}}{- x + 2} - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Этап 5.2.10

Умножим $- \frac{x}{- x + 2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x^{2}}{- x + 2} - 2 \frac{x}{- x + 2})$

Этап 5.2.10.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{- x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x^{2}}{- x + 2} + \frac{- 2 x}{- x + 2})$

Этап 5.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x^{2} - 2 x}{- x + 2}$

Этап 5.2.12

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x \cdot x - 2 x}{- x + 2}$

Этап 5.2.12.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{- x + 2}$

Этап 5.2.12.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x (x - 2)}{- x + 2}$

Этап 5.2.13

Сократим общий множитель $x - 2$ и $- x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x (- 1 (- x) - 2)}{- x + 2}$

Этап 5.2.13.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x (- 1 (- x) - 1 \cdot 2)}{- x + 2}$

Этап 5.2.13.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x (- 1 (- x + 2))}{- x + 2}$

Этап 5.2.13.4

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x (- 1 (- x + 2))}{- x + 2}$

Этап 5.2.13.5

Разделим $x \cdot (- 1)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (x \cdot (- 1))$

Этап 5.2.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (- 1 x)$

Этап 5.2.14.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{2 x + 1}{2 - x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- 2 (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) - 1}{- (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) + 2}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Изменим порядок $2$ и $- x$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- 2 \cdot (- 1 \frac{2 x + 1}{- x + 2}) - 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \cdot - 1 \frac{2 x + 1}{- x + 2}$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 \frac{2 x + 1}{- x + 2}) - 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.1.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 \frac{2 x + 1}{- x + 2}) - 1 \cdot 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 2 \frac{2 x + 1}{- x + 2}) - 1 (1)$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 \frac{2 x + 1}{- x + 2} + 1)}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2 x + 1}{- x + 2}$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (\frac{- 2 (2 x + 1)}{- x + 2} + 1)}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (- \frac{2 (2 x + 1)}{- x + 2} + 1)}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (- \frac{2 (2 x + 1)}{- x + 2} + \frac{- x + 2}{- x + 2})}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- 2 (2 x + 1) - x + 2}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.6

Изменим порядок членов.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- x + 2 - 2 (2 x + 1)}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.7

Перепишем $\frac{- x + 2 - 2 (2 x + 1)}{- x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- x + 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.7.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- x + 2 - 4 x - 2 \cdot 1}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.7.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- x + 2 - 4 x - 2}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.7.4

Вычтем $4 x$ из $- x$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- 5 x + 2 - 2}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.7.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- 5 x + 0}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.7.6

Добавим $- 5 x$ и $0$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- 5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{1 (\frac{5 x}{- x + 2})}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.9

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.9.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.9.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{1 (\frac{5 x}{- x + 2})}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.9.3

Умножим $\frac{5 x}{- x + 2}$ на $1$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + \frac{2 (2 - x)}{2 - x}}$

Этап 5.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1 + 2 (2 - x)}{2 - x}}$

Этап 5.3.4.3

Изменим порядок членов.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 2 (2 - x) + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем $\frac{2 x + 2 (2 - x) + 1}{- x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 4 + 2 (- x) + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 4 - 2 x + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.4.4

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{0 + 4 + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.4.5

Добавим $0$ и $4$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{4 + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.4.6

Добавим $4$ и $1$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{5}{- x + 2}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{5 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{5 (x)}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{5 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{x}{- x + 2} \cdot (- x + 2)$

Этап 5.3.7

Умножим $\frac{x}{- x + 2}$ на $- x + 2$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $- x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Этап 5.3.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x + 1}{2 - x}$ — обратная к $f (x) = \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x + 1}{2 - x}$