Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$ в виде уравнения.

$y = {(x - 16)}^{3} - 11$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(y - 16)}^{3} - 11$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(y - 16)}^{3} - 11 = x$ .

${(y - 16)}^{3} - 11 = x$

Этап 3.2

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

${(y - 16)}^{3} = x + 11$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 16 = \sqrt[3]{x + 11}$

Этап 3.4

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt[3]{x + 11} + 16$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$ обратной к $f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = \sqrt[3]{({(x - 16)}^{3} - 11) + 11} + 16$

Этап 5.2.3

Объединим противоположные члены в $\sqrt[3]{({(x - 16)}^{3} - 11) + 11} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 11$ и $11$ .

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = \sqrt[3]{{(x - 16)}^{3} + 0} + 16$

Этап 5.2.3.2

Добавим ${(x - 16)}^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = \sqrt[3]{{(x - 16)}^{3}} + 16$

Этап 5.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = x - 16 + 16$

Этап 5.2.5

Объединим противоположные члены в $x - 16 + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $- 16$ и $16$ .

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = x + 0$

Этап 5.2.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{x + 11} + 16)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {((\sqrt[3]{x + 11} + 16) - 16)}^{3} - 11$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в ${((\sqrt[3]{x + 11} + 16) - 16)}^{3} - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $16$ из $16$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(\sqrt[3]{x + 11} + 0)}^{3} - 11$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\sqrt[3]{x + 11}$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {\sqrt[3]{x + 11}}^{3} - 11$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x + 11}}^{3}$ в виде $x + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 11}$ в виде ${(x + 11)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {({(x + 11)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 11$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(x + 11)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 11$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(x + 11)}^{\frac{3}{3}} - 11$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(x + 11)}^{\frac{3}{3}} - 11$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = (x + 11) - 11$

Этап 5.3.4.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = x + 11 - 11$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x + 11 - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вычтем $11$ из $11$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$ — обратная к $f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$