Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y^{2} + y - 2$ .

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Этап 3.3.1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем многочлен.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Этап 3.3.1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Этап 3.3.1.2

Разложим $y^{2} + y - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 3.3.1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

Этап 3.3.1.3

Умножим $\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ на $y^{2} + y - 2$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Этап 3.3.1.4

Разложим $y^{2} + y - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

$- 1, 2$

Этап 3.3.1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Этап 3.3.1.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Этап 3.3.1.5.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Этап 3.3.1.5.2

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Этап 3.3.1.5.2.2

Разделим ${(y + 1)}^{2}$ на $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

Этап 3.3.1.5.3

Перепишем ${(y + 1)}^{2}$ в виде $(y + 1) (y + 1)$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

Этап 3.3.1.6

Развернем $(y + 1) (y + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

Этап 3.3.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

Этап 3.3.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.7.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.7.1.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.7.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

Этап 3.3.1.7.2

Добавим $y$ и $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

Этап 3.4.1.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

Этап 3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Этап 3.4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4.4

Подставим значения $a = x - 1$ , $b = x - 2$ и $c = - 2 x - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.3

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.4

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.5.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.5.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.5.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.7

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.8

Развернем $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.9.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.9.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.9.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.9.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.9.1.3

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.9.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.9.1.5

Умножим $- 2$ на $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.9.1.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.9.2

Вычтем $8 x$ из $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.10

Добавим $x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.11

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.12

Вычтем $4$ из $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.13

Добавим $9 x^{2} - 8 x$ и $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.14

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.14.1

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.14.2

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.5.14.3

Вынесем множитель $x$ из $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.6.3

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.6.7

Перепишем $- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ в виде $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.3

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.4

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.5.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.5.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.5.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.7

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.8

Развернем $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.9.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.9.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.9.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.9.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.9.1.3

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.9.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.9.1.5

Умножим $- 2$ на $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.9.1.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.9.2

Вычтем $8 x$ из $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.10

Добавим $x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.11

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.12

Вычтем $4$ из $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.13

Добавим $9 x^{2} - 8 x$ и $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.14

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.14.1

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.14.2

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.1.14.3

Вынесем множитель $x$ из $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.2

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.4

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.8

Перепишем $- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ в виде $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.7.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 3.4.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ и $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x (9 x - 8)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x (9 x - 8) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

Этап 5.3.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.3.2.3

Приравняем $9 x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Приравняем $9 x - 8$ к $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Этап 5.3.2.3.2

Решим $9 x - 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 8$

Этап 5.3.2.3.2.2

Разделим каждый член $9 x = 8$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 8$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Этап 5.3.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Этап 5.3.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Этап 5.3.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (9 x - 8) \geq 0$ верно.

$x = 0, \frac{8}{9}$

Этап 5.3.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

Этап 5.3.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 5.3.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

Этап 5.3.2.6.1.3

Левая часть $52$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3.2.6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{8}{9}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{8}{9}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.44$

Этап 5.3.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0.44$ в исходном неравенстве.

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

Этап 5.3.2.6.2.3

Левая часть $- 1.7776$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.3.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{8}{9}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{8}{9}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 5.3.2.6.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

Этап 5.3.2.6.3.3

Левая часть $57$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{8}{9}$ Ложь

$x > \frac{8}{9}$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{8}{9}$ Ложь

$x > \frac{8}{9}$ Истина

Этап 5.3.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 0$ или $x \geq \frac{8}{9}$

Этап 5.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 (x - 1) = 0$

Этап 5.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $2 (x - 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Разделим каждый член $2 (x - 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.3.4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.3.4.1.2.1.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Этап 5.3.4.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Обратная не существует

Этап 6