Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{2 x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{2 x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{2 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{2 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2 y} = x$ .

$\frac{1}{2 y} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 y$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{1}{2 y} = x$ умножим на $2 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 y} = x$ на $2 y$ .

$\frac{1}{2 y} (2 y) = x (2 y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{2 y} y = x (2 y)$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$2 \frac{1}{2 (y)} y = x (2 y)$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 y} y = x (2 y)$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} y = x (2 y)$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} y = x (2 y)$

Этап 3.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 = x (2 y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 x y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $2 x y = 1$ .

$2 x y = 1$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $2 x y = 1$ на $2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $2 x y = 1$ на $2 x$ .

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x}$

Этап 3.4.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x}$

Этап 3.4.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2 x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{2 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x})}$

Этап 5.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x}) = \frac{1}{\frac{2}{2 x}}$

Этап 5.2.4

Сократим выражение $\frac{2}{2 x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x}) = \frac{1}{\frac{2}{2 x}}$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x}) = 1 x$

Этап 5.2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{1}{2 x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1}{2 x}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x})}$

Этап 5.3.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 x}$ .

$f (\frac{1}{2 x}) = \frac{1}{\frac{2}{2 x}}$

Этап 5.3.4

Сократим выражение $\frac{2}{2 x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2 x}) = \frac{1}{\frac{2}{2 x}}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2 x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1}{2 x}) = 1 x$

Этап 5.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{1}{2 x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x}$