Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = | x + 3 |$

Этап 1

Запишем $f (x) = | x + 3 |$ в виде уравнения.

$y = | x + 3 |$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = | y + 3 |$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $| y + 3 | = x$ .

$| y + 3 | = x$

Этап 3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm x$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y + 3 = x$

Этап 3.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = x - 3$

Этап 3.3.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y + 3 = - x$

Этап 3.3.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = - x - 3$

Этап 3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = x - 3$

$y = - x - 3$

$y = x - 3$

$y = - x - 3$

$y = x - 3$

$y = - x - 3$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x - 3, - x - 3$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x - 3, - x - 3$ обратной к $f (x) = | x + 3 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = | x + 3 |$ и $f^{- 1} (x) = x - 3, - x - 3$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = | x + 3 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = x - 3, - x - 3$ не совпадает со множеством значений $f (x) = | x + 3 |$ , то $f^{- 1} (x) = x - 3, - x - 3$ не является функцией, обратной к $f (x) = | x + 3 |$ .

Обратная не существует

Этап 6