Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x + 2}{x - 9}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x + 2}{x - 9}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x + 2}{x - 9}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y + 2}{y - 9}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y - 9$ .

$(y - 9) (x) = (\frac{y + 2}{y - 9}) (y - 9)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 9 x = (\frac{y + 2}{y - 9}) (y - 9)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $y - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - 9 x = \frac{y + 2}{y - 9} (y - 9)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - 9 x = y + 2$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y x - 9 x - y = 2$

Этап 3.4.2

Добавим $9 x$ к обеим частям уравнения.

$y x - y = 2 + 9 x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - y = 2 + 9 x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 9 x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 + 9 x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (x - 1) = 2 + 9 x$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = 2 + 9 x$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 + 9 x}{x - 1}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x}{x - 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x}{x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{x + 2}{x - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{2 + 9 (\frac{x + 2}{x - 9})}{(\frac{x + 2}{x - 9}) - 1}$

Этап 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{2 + 9 \frac{x + 2}{x - 9}}{\frac{x + 2}{x - 9} - 1}$ на $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{x - 9}{x - 9} \cdot \frac{2 + 9 (\frac{x + 2}{x - 9})}{\frac{x + 2}{x - 9} - 1}$

Этап 5.2.3.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (2 + 9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{(x - 9) (\frac{x + 2}{x - 9} - 1)}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) \cdot 2 + (x - 9) (9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{(x - 9) (\frac{x + 2}{x - 9}) + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) \cdot 2 + (x - 9) (9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{(x - 9) (\frac{x + 2}{x - 9}) + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) \cdot 2 + (x - 9) (9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $x - 9$ из $(x - 9) \cdot 2 + (x - 9) \cdot 9 \frac{x + 2}{x - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вынесем множитель $x - 9$ из $(x - 9) \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (2) + (x - 9) (9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.1.2

Вынесем множитель $x - 9$ из $(x - 9) (2) + (x - 9) (9 \frac{x + 2}{x - 9})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (2 + 9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.2

Объединим $9$ и $\frac{x + 2}{x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (2 + \frac{9 (x + 2)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{2 (x - 9)}{x - 9} + \frac{9 (x + 2)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{2 (x - 9) + 9 (x + 2)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{9 (x + 2) + 2 (x - 9)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.6

Перепишем $\frac{9 (x + 2) + 2 (x - 9)}{x - 9}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{9 x + 9 \cdot 2 + 2 (x - 9)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.6.2

Умножим $9$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{9 x + 18 + 2 (x - 9)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{9 x + 18 + 2 x + 2 \cdot - 9}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.6.4

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{9 x + 18 + 2 x - 18}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.6.5

Добавим $9 x$ и $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x + 18 - 18}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.6.6

Вычтем $18$ из $18$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x + 0}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.6.7

Добавим $11 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

Этап 5.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{x + 2 + x \cdot - 1 - 9 \cdot - 1}$

Этап 5.2.7.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{x + 2 - 1 \cdot x - 9 \cdot - 1}$

Этап 5.2.7.3

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{x + 2 - 1 \cdot x + 9}$

Этап 5.2.7.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{x + 2 - x + 9}$

Этап 5.2.7.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{0 + 2 + 9}$

Этап 5.2.7.6

Добавим $0$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{2 + 9}$

Этап 5.2.7.7

Добавим $2$ и $9$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{11}$

Этап 5.2.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вынесем множитель $\frac{11 x}{x - 9}$ из $\frac{(x - 9) \frac{11 x}{x - 9}}{11}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{11 x}{x - 9} \cdot \frac{x - 9}{11}$

Этап 5.2.8.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.2.1

Вынесем множитель $11$ из $11 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{11 (x)}{x - 9} \cdot \frac{x - 9}{11}$

Этап 5.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{11 x}{x - 9} \cdot \frac{x - 9}{11}$

Этап 5.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{x}{x - 9} \cdot (x - 9)$

Этап 5.2.8.3

Сократим общий множитель $x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{x}{x - 9} \cdot (x - 9)$

Этап 5.2.8.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{2 + 9 x}{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 + 9 x}{x - 1}) - 9}$

Этап 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $\frac{\frac{2 + 9 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 9 x}{x - 1} - 9}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2 + 9 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 9 x}{x - 1} - 9}$

Этап 5.3.3.2

Объединим.

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1} + 2)}{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1} - 9)}$

Этап 5.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 9}$

Этап 5.3.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 9}$

Этап 5.3.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 9}$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 9}$

Этап 5.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + (x - 1) \cdot 2}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

Этап 5.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

Этап 5.3.6.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

Этап 5.3.6.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + 2 \cdot x - 2}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

Этап 5.3.6.4

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{9 x + 2 x + 0}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

Этап 5.3.6.5

Добавим $9 x + 2 x$ и $0$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{9 x + 2 x}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

Этап 5.3.6.6

Добавим $9 x$ и $2 x$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

Этап 5.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{2 + 9 x + x \cdot - 9 - 1 \cdot - 9}$

Этап 5.3.7.2

Перенесем $- 9$ влево от $x$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{2 + 9 x - 9 \cdot x - 1 \cdot - 9}$

Этап 5.3.7.3

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{2 + 9 x - 9 \cdot x + 9}$

Этап 5.3.7.4

Добавим $2$ и $9$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{9 x - 9 x + 11}$

Этап 5.3.7.5

Вычтем $9 x$ из $9 x$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{0 + 11}$

Этап 5.3.7.6

Добавим $0$ и $11$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{11}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{11}$

Этап 5.3.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x}{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{x + 2}{x - 9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x}{x - 1}$