Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x - 7}{x + 7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y - 7}{y + 7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ .

$\frac{y - 7}{y + 7} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 7, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y + 7, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y + 7$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ умножим на $y + 7$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ на $y + 7$ .

$\frac{y - 7}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 7}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y - 7 = x (y + 7)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 7 = x y + x \cdot 7$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$y - 7 = x y + 7 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$y - 7 - x y = 7 x$

Этап 3.4.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$y - x y = 7 x + 7$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 7 x + 7$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 7 x + 7$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 7 x + 7$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (1 - x) = 7 x + 7$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (1 - x) = 7 x + 7$ на $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{7 x + 7}{1 - x}$

Этап 3.4.4.3.2

Вынесем множитель $7$ из $7 x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$y = \frac{7 (x) + 7}{1 - x}$

Этап 3.4.4.3.2.2

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$y = \frac{7 (x) + 7 (1)}{1 - x}$

Этап 3.4.4.3.2.3

Вынесем множитель $7$ из $7 (x) + 7 (1)$ .

$y = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ обратной к $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 ((\frac{x - 7}{x + 7}) + 1)}{1 - (\frac{x - 7}{x + 7})}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x - 7}{x + 7} + \frac{x + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Этап 5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x - 7 + x + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Этап 5.2.3.3

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x + x - 7 + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Этап 5.2.3.4

Перепишем $\frac{x + x - 7 + 7}{x + 7}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Добавим $x$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x - 7 + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Этап 5.2.3.4.2

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x + 0}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Этап 5.2.3.4.3

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7}{x + 7} - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - (x - 7)}{x + 7}}$

Этап 5.2.4.3

Перепишем $\frac{x + 7 - (x - 7)}{x + 7}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - x + 7}{x + 7}}$

Этап 5.2.4.3.2

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - x + 7}{x + 7}}$

Этап 5.2.4.3.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{0 + 7 + 7}{x + 7}}$

Этап 5.2.4.3.4

Добавим $0$ и $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{7 + 7}{x + 7}}$

Этап 5.2.4.3.5

Добавим $7$ и $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{14}{x + 7}}$

Этап 5.2.5

Объединим $7$ и $\frac{2 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Этап 5.2.6

Умножим $7$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{\frac{14 x}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Этап 5.2.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вынесем множитель $14$ из $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 (x)}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Этап 5.2.8.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Этап 5.2.8.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Этап 5.2.9.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) - 7}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) - 7$ и $(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $7$ из $\frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) - 7}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7 \cdot - 1}{\frac{7 (x + 1)}{1 - x} + 7}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $7$ из $7 \frac{x + 1}{1 - x} + 7 (- 1)$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $7$ из $\frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7}$

Этап 5.3.3.4.2

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7 (1)}$

Этап 5.3.3.4.3

Вынесем множитель $7$ из $7 \frac{x + 1}{1 - x} + 7 (1)$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Этап 5.3.3.4.4

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Этап 5.3.3.4.5

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Этап 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Умножим $\frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$ на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Этап 5.3.4.2

Объединим.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Этап 5.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.6

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.6.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.6.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + 1 \cdot - 1 - x \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.7.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 - x \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.7.3

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 + 1 x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.7.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 + x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.7.4

Добавим $x$ и $x$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x + 1 - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.7.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.7.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Этап 5.3.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Умножим $1 - x$ на $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{x + 1 + 1 - x}$

Этап 5.3.8.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Этап 5.3.8.3

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Этап 5.3.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.3.9.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ — обратная к $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$