Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x - 1}{x + 5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y - 1}{y + 5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ .

$\frac{y - 1}{y + 5} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 5, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y + 5, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y + 5$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ умножим на $y + 5$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ на $y + 5$ .

$\frac{y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y - 1 = x (y + 5)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = x y + x \cdot 5$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y - 1 = x y + 5 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$y - 1 - x y = 5 x$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y - x y = 5 x + 1$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 5 x + 1$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 5 x + 1$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 5 x + 1$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (1 - x) = 5 x + 1$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (1 - x) = 5 x + 1$ на $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 x + 1}{1 - x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$ обратной к $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1}{1 - (\frac{x - 1}{x + 5})}$

Этап 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{5 \frac{x - 1}{x + 5} + 1}{1 - \frac{x - 1}{x + 5}}$ на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x + 5}{x + 5} \cdot \frac{5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1}{1 - \frac{x - 1}{x + 5}}$

Этап 5.2.3.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) (1 - \frac{x - 1}{x + 5})}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (- \frac{x - 1}{x + 5})}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x - 1}{x + 5}$ в числитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (\frac{- (x - 1)}{x + 5})}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (\frac{- (x - 1)}{x + 5})}$

Этап 5.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $(x + 5) \cdot 5 \frac{x - 1}{x + 5} + (x + 5) \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $(x + 5) \cdot 5 \frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6.1.2

Вынесем множитель $x + 5$ из $(x + 5) \cdot 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) (1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6.1.3

Вынесем множитель $x + 5$ из $(x + 5) (5 \frac{x - 1}{x + 5}) + (x + 5) (1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6.2

Объединим $5$ и $\frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1)}{x + 5} + 1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1)}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1) + x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6.5

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 (x - 1) + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6.6

Перепишем $\frac{x + 5 (x - 1) + 5}{x + 5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 x + 5 \cdot - 1 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6.6.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6.6.3

Добавим $x$ и $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6.6.4

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x + 0}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.6.6.5

Добавим $6 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Этап 5.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Умножим $x + 5$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - (x - 1)}$

Этап 5.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - x + 1}$

Этап 5.2.7.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - x + 1}$

Этап 5.2.7.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{0 + 5 + 1}$

Этап 5.2.7.5

Добавим $0$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{5 + 1}$

Этап 5.2.7.6

Добавим $5$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{6}$

Этап 5.2.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вынесем множитель $\frac{6 x}{x + 5}$ из $\frac{(x + 5) \frac{6 x}{x + 5}}{6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Этап 5.2.8.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Этап 5.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Этап 5.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Этап 5.2.8.3

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Этап 5.2.8.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 x + 1}{1 - x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(\frac{5 x + 1}{1 - x}) - 1}{(\frac{5 x + 1}{1 - x}) + 5}$

Этап 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $\frac{\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5}$ на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5}$

Этап 5.3.3.2

Объединим.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1)}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5)}$

Этап 5.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + 1 \cdot - 1 - x \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 - x \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.6.3

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 + 1 x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.6.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 + x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.6.4

Добавим $5 x$ и $x$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x + 1 - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.6.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x + 0}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.6.6

Добавим $6 x$ и $0$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Этап 5.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 1 \cdot 5 - x \cdot 5}$

Этап 5.3.7.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 5 - x \cdot 5}$

Этап 5.3.7.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 5 - 5 x}$

Этап 5.3.7.4

Вычтем $5 x$ из $5 x$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{0 + 1 + 5}$

Этап 5.3.7.5

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{1 + 5}$

Этап 5.3.7.6

Добавим $1$ и $5$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{6}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{6}$

Этап 5.3.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$ — обратная к $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$