Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x + 8}{x - 3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y + 8}{y - 3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y - 3$ .

$(y - 3) (x) = (\frac{y + 8}{y - 3}) (y - 3)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 3 x = (\frac{y + 8}{y - 3}) (y - 3)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - 3 x = \frac{y + 8}{y - 3} (y - 3)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - 3 x = y + 8$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y x - 3 x - y = 8$

Этап 3.4.2

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$y x - y = 8 + 3 x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - y = 8 + 3 x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 8 + 3 x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 8 + 3 x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (x - 1) = 8 + 3 x$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = 8 + 3 x$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{8}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{8}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{8}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{8 + 3 x}{x - 1}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 + 3 x}{x - 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{8 + 3 x}{x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{8 + 3 (\frac{x + 8}{x - 3})}{(\frac{x + 8}{x - 3}) - 1}$

Этап 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{8 + 3 \frac{x + 8}{x - 3}}{\frac{x + 8}{x - 3} - 1}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{8 + 3 (\frac{x + 8}{x - 3})}{\frac{x + 8}{x - 3} - 1}$

Этап 5.2.3.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (8 + 3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 8}{x - 3} - 1)}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 8 + (x - 3) (3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 8}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 8 + (x - 3) (3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 8}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 8 + (x - 3) (3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x - 3) \cdot 8 + (x - 3) \cdot 3 \frac{x + 8}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x - 3) \cdot 8$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (8) + (x - 3) (3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.1.2

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x - 3) (8) + (x - 3) (3 \frac{x + 8}{x - 3})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (8 + 3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.2

Объединим $3$ и $\frac{x + 8}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (8 + \frac{3 (x + 8)}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.3

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 (x - 3)}{x - 3} + \frac{3 (x + 8)}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 (x - 3) + 3 (x + 8)}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5

Перепишем $\frac{8 (x - 3) + 3 (x + 8)}{x - 3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 x + 8 \cdot - 3 + 3 (x + 8)}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.2

Умножим $8$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 x - 24 + 3 (x + 8)}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 x - 24 + 3 x + 3 \cdot 8}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.4

Умножим $3$ на $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 x - 24 + 3 x + 24}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.5

Добавим $8 x$ и $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x - 24 + 24}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.6

Добавим $- 24$ и $24$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x + 0}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.7

Добавим $11 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Этап 5.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{x + 8 + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}$

Этап 5.2.7.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{x + 8 - 1 \cdot x - 3 \cdot - 1}$

Этап 5.2.7.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{x + 8 - 1 \cdot x + 3}$

Этап 5.2.7.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{x + 8 - x + 3}$

Этап 5.2.7.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{0 + 8 + 3}$

Этап 5.2.7.6

Добавим $0$ и $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{8 + 3}$

Этап 5.2.7.7

Добавим $8$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{11}$

Этап 5.2.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вынесем множитель $\frac{11 x}{x - 3}$ из $\frac{(x - 3) \frac{11 x}{x - 3}}{11}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{11 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{11}$

Этап 5.2.8.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.2.1

Вынесем множитель $11$ из $11 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{11 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{11}$

Этап 5.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{11 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{11}$

Этап 5.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Этап 5.2.8.3

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Этап 5.2.8.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{8 + 3 x}{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + 8}{(\frac{8 + 3 x}{x - 1}) - 3}$

Этап 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $\frac{\frac{8 + 3 x}{x - 1} + 8}{\frac{8 + 3 x}{x - 1} - 3}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{8 + 3 x}{x - 1} + 8}{\frac{8 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Этап 5.3.3.2

Объединим.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1} + 8)}{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Этап 5.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 8}{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Этап 5.3.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 8}{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Этап 5.3.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + (x - 1) \cdot 8}{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + (x - 1) \cdot 8}{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Этап 5.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + (x - 1) \cdot 8}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Этап 5.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + x \cdot 8 - 1 \cdot 8}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Этап 5.3.6.2

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + 8 \cdot x - 1 \cdot 8}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Этап 5.3.6.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + 8 \cdot x - 8}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Этап 5.3.6.4

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 8 x + 0}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Этап 5.3.6.5

Добавим $3 x + 8 x$ и $0$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 8 x}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Этап 5.3.6.6

Добавим $3 x$ и $8 x$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Этап 5.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{8 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Этап 5.3.7.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{8 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Этап 5.3.7.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{8 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

Этап 5.3.7.4

Добавим $8$ и $3$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{3 x - 3 x + 11}$

Этап 5.3.7.5

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{0 + 11}$

Этап 5.3.7.6

Добавим $0$ и $11$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{11}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{11}$

Этап 5.3.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{8 + 3 x}{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8 + 3 x}{x - 1}$