Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{5} - 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{5} - 1$ в виде уравнения.

$y = x^{5} - 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{5} - 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{5} - 1 = x$ .

$y^{5} - 1 = x$

Этап 3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y^{5} = x + 1$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[5]{x + 1}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$ обратной к $f (x) = x^{5} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (x^{5} - 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{(x^{5} - 1) + 1}$

Этап 5.2.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Этап 5.2.4

Добавим $x^{5}$ и $0$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Этап 5.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[5]{x + 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(\sqrt[5]{x + 1})}^{5} - 1$

Этап 5.3.3

Перепишем ${\sqrt[5]{x + 1}}^{5}$ в виде $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 1$

Этап 5.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 1$

Этап 5.3.3.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{5}{5}} - 1$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{5}{5}} - 1$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Этап 5.3.3.5

Упростим.

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x + 1 - 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$ — обратная к $f (x) = x^{5} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$