Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{2} - 6 x - 9$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ в виде уравнения.

$y = x^{2} - 6 x - 9$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{2} - 6 y - 9$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} - 6 y - 9 = x$ .

$y^{2} - 6 y - 9 = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 6 y - 9 - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = - 9 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 9 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.6

Добавим $36$ и $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{72 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.7

Вынесем множитель $4$ из $72 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $72$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 18 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 18 + 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{18 + x}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 9 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Добавим $36$ и $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{72 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.7

Вынесем множитель $4$ из $72 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $72$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 18 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 18 + 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{18 + x}$

Этап 3.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 3 + \sqrt{18 + x}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 9 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6

Добавим $36$ и $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{72 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем множитель $4$ из $72 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $72$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 18 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 18 + 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{18 + x}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 3 - \sqrt{18 + x}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 3 + \sqrt{18 + x}$

$y = 3 - \sqrt{18 + x}$

$y = 3 + \sqrt{18 + x}$

$y = 3 - \sqrt{18 + x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$ обратной к $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ и $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 18, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $3 + \sqrt{18 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{18 + x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$18 + x \geq 0$

Этап 5.3.2

Вычтем $18$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 18$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 18, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$ , представляет область определения $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ , то $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$ — обратная к $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ .

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$

Этап 6